Stetige Zufallsvariable

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine stetige Zufallsvariable ist.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Eine Zufallsvariable $X$ heißt stetig, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Beispiel 1 

$$ X := \text{„Gewicht einer zufällig ausgewählten Person“} $$ $\Rightarrow$ unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist

Beispiel 2 

$$ X := \text{„Geschwindigkeit eines an einer Radarkontrolle vorbeifahrenden Autos“} $$ $\Rightarrow$ unendliche Wertemenge, die nicht abzählbar ist

Entstehung

Stetige Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Messvorgang.

Beim Messen von physikalischen Größen (wie Länge, Masse, Volumen, Temperatur, Zeit etc.) spielen viele kleine Störeinflüsse eine Rolle, die das Messergebnis mal etwas zu hoch, mal etwas zu niedrig ausfallen lassen. Unabhängig von der Messgenauigkeit kann eine stetige Zufallsvariable innerhalb eines Intervalls unendlich viele Werte annehmen.

Stetige Wahrscheinlichkeits­verteilung 

Eine Wahrscheinlichkeits­verteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariable verteilen.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable lässt sich beschreiben durch eine Dichtefunktion oder eine Verteilungsfunktion. Beide Funktionen enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.

Beispiel 3 

Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen 2,5 und 4,5.

1) Dichtefunktion

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 2{,}5 \\[5px] \frac{1}{2} & \text{für } 2{,}5 \le x \le 4{,}5 \\[5px] 0 & \text{für } x > 4{,}5 \end{cases} \end{equation*} $$

Merke: $f(x) \neq P(X = x)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt, ist stets Null.
Folglich gilt: $P(X = x) = 0$.

Abb. 1 / Dichtefunktion 

Aus der Dichtefunktion selbst lassen sich keine Wahrscheinlichkeiten ablesen. Die Dichtefunktion hat nur die Aufgabe, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu vermitteln.

Bei stetigen Zufallsvariablen verwendet man deshalb zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich aus der Integration der Dichtefunktion:

$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Die Wahrscheinlichkeiten entsprechen also der jeweiligen Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion.

2) Verteilungsfunktion

$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x \le 2{,}5 \\[5px] \frac{1}{2}x-\frac{5}{4} & \text{für } 2{,}5 < x < 4{,}5 \\[5px] 1 & \text{für } x \geq 4{,}5 \end{cases} \end{equation*} $$

Merke: $F(x) = P(X \le x)$

Abb. 2 / Verteilungsfunktion 

Sowohl die Dichtefunktion als auch die Verteilungsfunktion beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable vollständig. Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u. a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Überblick 

Entstehungdurch Messvorgang
BeispielGewicht einer zufällig ausgewählten Person
Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Dichtefunktion
- Verteilungsfunktion
Maßzahlen
- Erwartungswert$$\mu_{X} = \textrm{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \textrm{d}x$$
- Varianz$$\sigma^2_{X} = \textrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! (x - \mu_{X})^2 \cdot f(x) \, \textrm{d}x$$
- Standardabweichung$$\sigma_{X} = \sqrt{\textrm{Var}(X)}$$

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