Pfadregeln

In diesem Kapitel schauen wir uns die Pfadregeln an.

Definition 

Die Pfadregeln dienen der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment.

Beispiel 1 

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

Abb. 1 

Beispiel 2 

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

Abb. 2 

Für beide Beispiele gilt:

Ergebnisse$\omega_1 = SS$, $\omega_2 = SW$, $\omega_3 = WS$, $\omega_4 = WW$
Ergebnisraum$\Omega = \{SS, SW, WS, WW\}$
Elementarereignisse$E_1 = \{SS\}$, $E_2 = \{SW\}$, $E_3 = \{WS\}$, $E_4 = \{WW\}$

Pfadregel 1 

Anwendung 

…wenn Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort UND verknüpft sind.

Regel 

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.

Beispiel 

Beispiel 3 

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.

Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze UND dann noch eine schwarze Kugel zu ziehen?

Gesucht: $P(\{SS\})$

Laut der 1. Pfadregel gilt:

$$ \begin{align*} P(\{SS\}) &= \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \\[5px] &= \frac{16}{81} \\[5px] &\approx 19{,}75\ \% \end{align*} $$

Abb. 3 

Weitere Anwendungsfälle 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…

  • zuerst eine schwarze und dann noch eine schwarze Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{SS\}) $$
  • zuerst eine schwarze und dann eine weiße Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{SW\}) $$
  • zuerst eine weiße und dann eine schwarze Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{WS\}) $$
  • zuerst eine weiße und dann noch eine weiße Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{WW\}) $$

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist stets 1.

In unserem Beispiel gilt:

$$ P(\{SS\}) + P(\{SW\}) + P(\{WS\}) + P(\{WW\}) = 1 $$

Pfadregel 2 

Anwendung 

…wenn Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort ODER verknüpft sind.

Regel 

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Beispiel 

Beispiel 4 

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.

Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine schwarze Kugel gezogen wird?

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir die Wahrscheinlichkeit dafür suchen, dass entweder das Elementarereignis $\{SW\}$ ODER $\{WS\}$ eintritt. In diesen beiden Fällen wird nämlich genau eine schwarze Kugel gezogen.

Gesucht: $P(\{SW,WS\})$

Laut der 2. Pfadregel gilt:

$$ \begin{align*} P(\{SW,WS\}) &= \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{9} \\[5px] &= \frac{40}{81} \\[5px] &= \approx 49{,}38\ \% \end{align*} $$

Abb. 4 

Weitere Anwendungsfälle 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…

  • genau eine schwarze Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{SW,WS\}) $$

  • genau eine weiße Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{SW,WS\}) $$

  • mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{SW,WS,SS\}) $$

  • mindestens eine weiße Kugel zu ziehen?
    $$ \Rightarrow P(\{SW,WS,WW\}) $$

Zusammenfassung 

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Pfadregeln bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment helfen. Die 1. Pfadregel wird zur Berechnung von Elementarereignissen eingesetzt. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Pfad einem Elementarereignis. Gilt es, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mehrerer Elementarereignisse zu berechnen, setzt man die 2. Pfadregel ein.

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