Pfadregeln

In diesem Kapitel schauen wir uns die Pfadregeln an.

Die Pfadregeln dienen der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
in einem mehrstufigen Zufallsexperiment.

Um mehrstufige Zufallsexperimente graphisch darzustellen, benutzt man Baumdiagramme.

Beispiele

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

Für beide Beispiele gilt:

  • Ergebnisse: \(\omega_1 = SS\), \(\omega_2 = SW\), \(\omega_3 = WS\), \(\omega_4 = WW\)
  • Ergebnisraum: \(\Omega = \{SS, SW, WS, WW\}\)
  • Elementarereignisse: \(E_1 = \{SS\}\), \(E_2 = \{SW\}\), \(E_3 = \{WS\}\), \(E_4 = \{WW\}\)

1. Pfadregel

Anwendung der 1. Pfadregel: Wenn Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort UND verknüpft sind.

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.

Beispiel

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
zuerst eine schwarze UND dann noch eine schwarze Kugel zu ziehen?

Gesucht: \(P(\{SS\})\)

Laut der 1. Pfadregel gilt:
\(P(\{SS\}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{81} \approx 19,75\%\)

Weitere Anwendungsfälle der 1. Pfadregel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...

...zuerst eine schwarze und dann noch eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SS\})\)

...zuerst eine schwarze und dann eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW\})\)

...zuerst eine weiße und dann eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{WS\})\)

...zuerst eine weiße und dann noch eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{WW\})\)

Merke:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist stets 1.

In unserem Beispiel gilt: \(P(\{SS\}) + P(\{SW\}) + P(\{WS\}) + P(\{WW\}) = 1\)

2. Pfadregel

Anwendung der 2. Pfadregel: Wenn Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort ODER verknüpft sind.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich
der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade,
die zu diesem Ereignis führen.

Beispiel

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass genau eine schwarze Kugel gezogen wird?

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir die Wahrscheinlichkeit dafür suchen,
dass entweder das Elementarereignis \(\{SW\}\) ODER \(\{WS\}\) eintritt.
In diesen beiden Fällen wird nämlich genau eine schwarze Kugel gezogen.

Gesucht: \(P(\{SW,WS\})\)

Laut der 2. Pfadregel gilt:
\(P(\{SW,WS\}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{9}\)
\(\phantom{P(\{SW,WS\})} = \frac{40}{81} \approx 49,38\%\)

Weitere Anwendungsfälle der 2. Pfadregel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...

...genau eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS\})\)

...genau eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS\})\)

...mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS,SS\})\)

...mindestens eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS,WW\})\)

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Pfadregeln bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment helfen. Die 1. Pfadregel wird zur Berechnung von Elementarereignissen eingesetzt. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Pfad einem Elementarereignis. Gilt es, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mehrerer Elementarereignisse zu berechnen, setzt man die 2. Pfadregel ein.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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