Satz von Bayes

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Satz von Bayes besagt.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Bedeutung 

Wir betrachten ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen $A$ und $B$.

Gegeben: $P_A(B)$

Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist.

Abb. 1 

Gesucht: $P_B(A)$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist.

Abb. 2 

Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen: Man geht von einem bekannten Wert $P_A(B)$ aus, mit dessen Hilfe man $P_B(A)$ berechnet.

Herleitung 

Um die Formel für die Berechnung von $P_B(A)$ aus $P_A(B)$ zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen.

Nach dem Multiplikationssatz gilt:

$$ P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A) $$

Gleichung nach $P_B(A)$ auflösen:

$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Abb. 3 

VORSICHT!

Bei diesem Baumdiagramm ist der Ablauf (im Vergleich zum ersten Baumdiagramm) vertauscht.

Nach dem Multiplikationssatz gilt:

$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) $$

Abb. 4 

Wir ersetzen $P(A \cap B)$ aus der Formel der 1. Abbildung

$$ P_B(A) = \frac{{\colorbox{yellow}{$P(A \cap B)$}}}{P(B)} $$

mit dem $P(A \cap B)$ aus der 2. Abbildung

$$ {\colorbox{yellow}{$P(A \cap B)$}} = {\colorbox{orange}{$P(A) \cdot P_A(B)$}} $$

und erhalten den Satz von Bayes

$$ P_B(A) = \frac{{\colorbox{orange}{$P(A) \cdot P_A(B)$}}}{P(B)} $$

Den Nenner des Bruchs können wir noch umschreiben. Dazu brauchen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

Satz von Bayes

$$ P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(A) \cdot P_A(B) + P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B)} $$

Beispiel 

Beispiel 1 

Eine Schülerin fährt in 70 % der Schultage mit dem Bus. In 80 % dieser Fälle kommt sie pünktlich zur Schule. Durchschnittlich kommt sie aber nur an 60 % der Schultage pünktlich an.

Heute kommt die Schülerin pünktlich zur Schule. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie den Bus benutzt?

Für die Ereignisse werden folgende Bezeichnungen gewählt:
$A$: Die Schülerin fährt mit dem Bus.
$B$: Die Schülerin kommt pünktlich an.

Demnach gilt:
$\overline{A}$: Die Schülerin fährt nicht mit dem Bus.
$\overline{B}$: Die Schülerin kommt nicht pünktlich an.

Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.

Eine Schülerin fährt zu 70 % mit dem Bus.
$$ \Rightarrow P(A) = 0{,}7 $$

In 80 % dieser Fälle kommt sie pünktlich.
$$ \Rightarrow P_A(B) = 0{,}8 $$

Abb. 5 

Durchschnittlich kommt sie zu 60 % pünktlich.
$$ \Rightarrow P(B) = 0{,}6 $$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für BUS unter der Bedingung PÜNKTLICH: $P_B(A)$.

Abb. 6 

Da $P_A(B)$ gegeben und $P_B(A)$ gesucht ist, lösen wir die Aufgabe mit dem Satz von Bayes:

$$ \begin{align*} P_B(A) &= \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} \\[5px] &= \frac{0{,}7 \cdot 0{,}8}{0{,}6} \\[5px] &= 0{,}9\overline{3} \\[5px] &\approx 93{,}33\ \% \end{align*} $$

Aus der gegebenen Information

Zu 80 % ist die Schülerin pünktlich, wenn sie mit dem Bus gekommen ist
= $P_A(B)$

haben wir mithilfe des Satzes von Bayes folgende Information gewonnen

Zu 93,33 % ist die Schülerin mit dem Bus gekommen, wenn sie pünktlich ist
= $P_B(A)$

Wir merken uns: Der Satz von Bayes erlaubt die Umkehrung von Schlussfolgerungen.

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern