Median

In diesem Kapitel schauen wir uns den Median an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist der Median.

Der Median ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da der Median die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen Mittelwert.

Median berechnen

Der Median entspricht dem Wert,
welcher größer oder gleich 50% aller Werte ist.

\(\begin{equation*}
\tilde{x} = \begin{cases}
x_{\frac{n+1}{2}} & \text{für } n \text{ ungerade}\\
\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{für } n \text{ gerade}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Dabei steht \(n\) für die Anzahl der Beobachtungswerte.

Beispiel 1

Wir fragen 12 Kinder nach ihrem Alter.

Die Antworten der Kinder lauten:
5, 3, 7, 4, 4, 3, 6, 4, 7, 8, 7, 6

1.) Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} \\ \hline
\text{Alter} & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 7 & 8 \\
\hline \end{array}\)

2.) Median berechnen

Da \(n\) gerade ist, lautet die Formel zur Berechnung des Medians:
\(\tilde{x} = \frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right)\)

Mit \(n = 12\) erhält man demnach:
\(\tilde{x} = \frac{1}{2}\left(x_{\frac{12}{2}} + x_{\frac{12}{2}+1}\right) = \frac{1}{2}\left(x_{6} + x_{7}\right)\)

Aus der Tabelle lässt sich ablesen \(x_6 = 5\) und \(x_7 = 6\). Folglich gilt:
\(\tilde{x} = \frac{1}{2}\left(5 + 6\right) = \frac{1}{2} \cdot 11 = {\colorbox{orange}{\(5,5\)}}\)

Der Median \(\tilde{x}\) ist 5,5.

Beispiel 2

Wir fragen 11 Kinder nach ihrem Alter.

Die Antworten der Kinder lauten:
5, 3, 7, 4, 4, 3, 6, 4, 7, 7, 6

1.) Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} \\ \hline
\text{Alter} & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 7 \\
\hline \end{array}\)

2.) Median berechnen

Da \(n\) ungerade ist, lautet die Formel zur Berechnung des Medians:
\(\tilde{x} = x_{\frac{n+1}{2}}\)

Mit \(n = 11\) erhält man demnach:
\(\tilde{x} = x_{\frac{11+1}{2}} = x_{6}\)

Aus der Tabelle lässt sich ablesen \(x_6 = 5\). Folglich gilt:
\(\tilde{x} = {\colorbox{orange}{\(5\)}}\)

Der Median \(\tilde{x}\) ist 5.

Lageparameter im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über einige populäre Lageparameter.

Arithmetisches Mittel \[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\]
Geometrisches Mittel

\(\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\)

Harmonisches Mittel \[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\]
Median \[\begin{equation*}
\tilde{x} =
\begin{cases}
x_{\frac{n+1}{2}} & \text{für } n \text{ ungerade}\\
\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{für } n \text{ gerade}
\end{cases}
\end{equation*}\]
Modus

\(\bar{x}_{\text{d}} = \text{Häufigster Beobachtungswert}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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