Geometrisches Mittel

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist das geometrische Mittel.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Das geometrische Mittel ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da das geometrische Mittel die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen Mittelwert.

Anwendung 

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel dient das geometrische Mittel zur Messung des Durchschnitts einer prozentualen Veränderung. Aus diesem Grund sagt man zum geometrischen Mittel auch durchschnittliche Veränderungsrate.

Geometrisches Mittel berechnen 

Im Folgenden unterscheiden wir, ob die Daten als Beobachtungswerte, absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten gegeben sind. Das geometrische Mittel von Beobachtungswerten bezeichnet man als ungewogenes geometrisches Mittel, wohingegen man das geometrische Mittel von absoluten und relativen Häufigkeiten als gewogenes geometrisches Mittel bezeichnet.

Beobachtungswerte gegeben 

Ungewogenes geometrisches Mittel
(Beobachtungswerte gegeben)

$$ \bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} $$

Um das ungewogene geometrische Mittel zu berechnen, multipliziert man zunächst alle gegebenen Elemente von $x_1$ bis $x_n$ miteinander. Anschließend berechnet man die $n$-te Wurzel des so ermittelten Produkts.

Beispiel 1 

Berechne das geometrische Mittel.

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline \text{Prozentsatz } p & 5\ \% & 3\ \% & -6\ \% & 2\ \% & 4\ \% \\ \hline x_i = 1 + \frac{p}{100} & 1{,}05 & 1{,}03 & 0{,}94 & 1{,}02 & 1{,}04 \\ \hline \end{array} $$

Anzahl der Beobachtungswerte bestimmen

Durch Abzählen stellen wir fest, dass es $5$ Beobachtungswerte gibt.

Formel aufschreiben

$$ \bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{geom}}} = \sqrt[5]{1{,}05 \cdot 1{,}03 \cdot 0{,}94 \cdot 1{,}02 \cdot 1{,}04} $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{geom}}} \approx 1{,}015 $$

Absolute Häufigkeiten gegeben 

Gewogenes geometrisches Mittel
(Absolute Häufigkeiten gegeben)

$$ \bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1^{H_1} \cdot x_2^{H_2} \cdot \ldots \cdot x_m^{H_m}} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^m x_i^{H_i}} $$

Um das gewogene geometrische Mittel zu berechnen, multipliziert man zunächst alle gegebenen Elemente von $x_1$ bis $x_m$ miteinander, wobei im Exponenten jedes Faktors seine relative Häufigkeit $H_i$ steht. Anschließend berechnet man die $n$-te Wurzel des so ermittelten Produkts.

Beispiel 2 

Berechne das geometrische Mittel.

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline \text{Prozentsatz } p & -2\ \% & -1\ \% & 0\ \% & 1\ \% & 2\ \% & 3\ \% \\ \hline x_i = 1 + \frac{p}{100} & 0{,}98 & 0{,}99 & 1{,}00 & 1{,}01 & 1{,}02 & 1{,}03 \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit } H_i & 2 & 1 & 2 & 6 & 10 & 4 \\ \hline \end{array} $$

Anzahl der Beobachtungswerte berechnen

$$ n = \sum_{i=1}^{m} H_i = 2 + 1 + 2 + 6 + 10 + 4 = {\color{blue}{25}} $$

Formel aufschreiben

$$ \bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^m x_i^{H_i}} $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{geom}}} = \sqrt[{\color{blue}{25}}]{0{,}98^2 \cdot 0{,}99^1 \cdot 1{,}00^2 \cdot 1{,}01^6 \cdot 1{,}02^{10} \cdot 1{,}03^4} $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{geom}}} \approx 1{,}013 $$

Relative Häufigkeiten gegeben 

Gewogenes geometrisches Mittel
(Relative Häufigkeiten gegeben)

$$ \bar{x}_{\text{geom}} = x_1^{h_1} \cdot x_2^{h_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{h_n} = \prod_{i=1}^m x_i^{h_i} $$

Um das gewogene geometrische Mittel zu berechnen, multipliziert man alle gegebenen Elemente von $x_1$ bis $x_m$ miteinander, wobei im Exponenten jedes Faktors seine relative Häufigkeit $h_i$ steht.

Beispiel 3 

Berechne das geometrische Mittel.

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline \text{Prozentsatz } p & -5\ \% & -2\ \% & 0\ \% & 3\ \% & 5\ \% & 10\ \% \\ \hline x_i = 1 + \frac{p}{100} & 0{,}95 & 0{,}98 & 1{,}00 & 1{,}03 & 1{,}05 & 1{,}10 \\ \hline \text{Relative Häufigkeit } h_i & 0{,}05 & 0{,}05 & 0{,}10 & 0{,}20 & 0{,}25 & 0{,}35 \\ \hline \end{array} $$

Formel aufschreiben

$$ \bar{x}_{\text{geom}} = \prod_{i=1}^m x_i^{h_i} $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{geom}}} = 0{,}95^{0{,}05} \cdot 0{,}98^{0{,}05} \cdot 1{,}00^{0{,}10} \cdot 1{,}03^{0{,}20} \cdot 1{,}05^{0{,}25} \cdot 1{,}10^{0{,}35} $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{geom}}} \approx 1{,}049 $$

Online-Rechner 

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