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Geometrisches Mittel

Am Ende dieses Artikels findest du meinen Online-Rechner zum Berechnen des geometrischen Mittels. Zunächst wiederholen wir alles, was du zum geometrischen Mittel wissen musst.

Hauptartikel: Geometrisches Mittel

Wiederholung: Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist ein in der Statistik häufig verwendeter Lageparameter, der die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt. Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel dient das geometrische Mittel zur Berechnung des Durchschnitts einer prozentualen Veränderung. Wir sprechen aus diesem Grund auch von der „durchschnittlichen Veränderungsrate“.

Die Formel zur Berechnung des geometrischen Mittels lautet:

\[\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\]

Anmerkungen

\(\bar{x}_{\text{geom}}\) ist die symbolische Schreibweise für das geometrische Mittel.

\(x_1, x_2, \dots, x_n\) sind die einzelnen Beobachtungswerte.

\(n\) ist die Anzahl der Beobachtungswerte.

\(\prod\) heißt Produktzeichen und ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt.

Beispiel

Ein Manager möchte die durchschnittliche Veränderungsrate des Umsatzes berechnen.
In den letzten 5 Jahren hat sich der Umsatz so entwickelt: 2 %, -1 %, 3 %, 4 %, -2 %.

1.) Anzahl der Beobachtungswerte \(n\) bestimmen

Durch Abzählen erkennen wir, dass es 5 Prozentsätze sind. Daraus folgt: \(n = 5\).

2.) Prozentsätze als Prozentfaktor in Dezimalschreibweise aufschreiben

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Prozentsatz } p & 2\,\% & -1\,\% & 3\,\% & 4\,\% & -2\,\% \\
\hline x_i = 1 + \frac{p}{100} & 1{,}02 & 0{,}99 & 1{,}03 & 1{,}04 & 0{,}98 \\
\hline \end{array}\)

3.) Beobachtungswerte und Anzahl \(n\) in Formel einsetzen

\[\begin{align*}
\bar{x}_{\text{geom}}
&= \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5}\\[10pt]
&= \sqrt[5]{1{,}02 \cdot 0{,}99 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}04 \cdot 0{,}98}\\[10pt]
& =1{,}0117\dots\\[10pt]
&\approx 1{,}012
\end{align*}\]

Der Umsatz ist in den letzten 5 Jahren durchschnittlich um \(1{,}2\,\%\) gestiegen.

Online-Rechner: Geometrisches Mittel

Im Folgenden erkläre ich dir kurz, wie der Rechner funktioniert. Mach dir keine Sorgen:
Du musst weder Mathe- noch Technik-Freak sein, um mit dem Teil zurechtzukommen ;)

Eingabe

Zahlen (hier: Dezimalzahlen), die durch Kommas voneinander getrennt sind
Beispiel: 1.01,1.02,0.97,1.04,0.95

Beachte: Dezimalzahlen werden mit Punkt als Trennzeichen eingegeben

Ausgabe

eine Zahl, nämlich das geometrische Mittel des eingegebenen Datensatzes

Beispiel

Gesucht ist das geometrische Mittel von \(1\,\%, 2\,\%, -3\,\%, 4\,\%, -5\,\%\).

Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Jetzt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)

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Andreas Schneider

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