Relative Häufigkeit

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die relative Häufigkeit ist.

Erforderliches Vorwissen

Einführungsbeispiel 

Beispiel 1 

Wir werfen 100 mal einen Würfel und fertigen dazu folgende Tabelle an

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit} & 12 & 20 & 17 & 15 & 22 & 14 \\ \end{array} $$

Laut Tabelle gilt: $H_{100}(\{1\}) = 12$

Von 100 Würfen lag 12 mal die Augenzahl 1 oben.

Beispiel 2 

Wir werfen 200 mal einen Würfel und fertigen dazu folgende Tabelle an

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit} & 12 & 30 & 44 & 37 & 49 & 28 \\ \end{array} $$

Laut Tabelle gilt: $H_{200}(\{1\}) = 12$

Von 200 Würfen lag 12 mal die Augenzahl 1 oben.

Zwar sind die absoluten Häufigkeiten in den obigen Beispielen jeweils 12, jedoch unterscheiden sich offenkundig die relativen Häufigkeiten voneinander. Relativ meint dabei relativ zur Anzahl der Versuche.

Definition der relativen Häufigkeit 

Tritt ein Ereignis $E$ bei $n$ Versuchen $k$-mal ein, so heißt die Zahl

$$ h_n(E) = \frac{k}{n} $$

relative Häufigkeit des Ereignisses $E$.

Relative Häufigkeit berechnen 

Aus der obigen Definition folgt:

Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit dividiert durch die Anzahl der Versuche:

$$ \text{Relative Häufigkeit} = \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Versuche}} $$

oder

$$ h_n(E) = \frac{H_n(E)}{n} $$

Beispiel 3 

Wir werfen 100 maliges Werfen eines Würfels führt zu folgender Tabelle:

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit} & 12 & 20 & 17 & 15 & 22 & 14 \end{array} $$

Berechne die relativen Häufigkeiten als Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent.

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit} & 12 & 20 & 17 & 15 & 22 & 14 \\ \hline \text{Relative Häufigkeit} & \frac{12}{100} & \frac{20}{100} & \frac{17}{100} & \frac{15}{100} & \frac{22}{100} & \frac{14}{100} \\ & 0{,}12 & 0{,}2 & 0{,}17 & 0{,}15 & 0{,}22 & 0{,}14 \\ & 12\ \% & 20\ \% & 17\ \% & 15\ \% & 22\ \% & 14\ \% \\ \end{array} $$

Eigenschaften der relativen Häufigkeit 

$$ 0 \leq h_n(E) \leq 1 $$

In Worten: Die relative Häufigkeit nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an.

$$ h_n(\Omega) = 1 $$

In Worten: Die relative Häufigkeit des sicheren Ereignisses ist $1$.

$$ h_n(\{\}) = 0 $$

In Worten: Die relative Häufigkeit des unmöglichen Ereignisses ist $0$.

$$ h_n(E) + h_n(\overline{E}) = 1 $$

In Worten: Jedes Ereignis $E$ und sein Gegenereignis $\overline{E}$ ergänzen sich zum Ergebnisraum $\Omega$.

Daraus ergibt sich die wichtige Eigenschaft: $h_n(\overline{E}) = 1 - h_n(E)$.

$$ h_n(E)= h_n(\{\omega_1\})+ h_n(\{\omega_2\}) + \dots + h_n(\{\omega_k\}) = \sum_{i=1}^{k} h_n(\{\omega_i\}) $$

In Worten: Die relative Häufigkeit des Ereignisses $E$ entspricht der Summe der relativen Häufigkeiten der Ergebnisse $\omega_1$, $\omega_2$…, $\omega_k$, aus denen das Ereignis $E$ zusammengesetzt ist.

$$ h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B) $$

In Worten: Sind die beiden Ereignisse $A$ und $B$ unvereinbar, d. h. wenn $A \cap B = \{\}$ gilt, so verkürzt sich die Formel zu: $h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B)$.

Absolute Häufigkeit berechnen 

Die absolute Häufigkeit lässt sich aus der relativen Häufigkeit und der Anzahl der Versuche berechnen:

$$ \text{Absolute Häufigkeit} = \text{Relative Häufigkeit} \cdot \text{Anzahl der Versuch} $$

$$ H_n(E) = h_n(E) \cdot n $$

Beispiel 4 

Eine Münze wurde 200 mal geworfen. In 40 % der Fälle lag Kopf oben.

Wie oft lag Kopf oben?

$$ H_{200}(\text{„Kopf“}) = 0{,}4 \cdot 200 = 80 $$

In 80 von 200 Würfen lag Kopf oben.

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