Laplace-Experiment
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Laplace-Experiment ist.
Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment,
wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
Bei einem Laplace-Experiment nennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch Laplace-Wahrscheinlichkeit. Wie berechnet man diese Wahrscheinlichkeit?
Laplace-Wahrscheinlichkeit
\[P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}\]
Bedeutung
- \(P(E)\) = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\)
- \(|E|\) = Anzahl der Elementarereignisse, bei denen \(E\) eintritt
- \(|\Omega|\) = Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(E\) eines Laplace-Experiments ist gleich dem Quotienten aus den Mächtigkeiten des Ereignisses \(E\) und des Ergebnisraums \(\Omega\).
Hinweis: Die Formel zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit gilt nur, wenn die Elementarereignisse bei dem jeweiligen Experiment gleich wahrscheinlich sind. Hat man jedoch Grund zur Annahme, dass die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind, darf die Formel nicht angewendet werden.
Beispiele für Laplace-Experimente
Glücksspiele wie
- das Werfen eines Würfels
- das Werfen einer Münze
- das Ziehen einer Kugel aus einer Urne
- das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel
- Lotto (z. B. 6 aus 49)
- Toto (Sportwetten)
- ...
behandelt man im Allgemeinen idealisiert als Laplace-Experimente.
Dass es sich um ein Laplace-Experiment handelt, verrät bereits häufig die Aufgabenstellung. Oft ist nämlich von einem Laplace-Würfel oder Ähnlichem die Rede. Ein Laplace-Würfel (L-Würfel) ist ein idealer Würfel, bei dem das Auftreten jeder Augenzahl gleich wahrscheinlich ist. Eine ideale Münze bezeichnet man dementsprechend auch als Laplace-Münze (L-Münze).
Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
Vorgehensweise
- Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
- Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen \(E\) eintritt
- Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
Für den 1. und 2. Schritt braucht man die Kombinatorik.
Beispiel
Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
a) dreimal \(K\),
b) mindestens zweimal \(K\)
c) mindestens einmal \(K\) zu werfen?
1.) Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
> Variation mit Wiederholung: \(n^k\)
\(|\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{\(8\)}}\)
Zusatzinformation
\(\Omega = \{KKK,KKZ,KZK,ZKK,ZZK,ZKZ,KZZ,ZZZ\}\)
2.) Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen \(E\) eintritt
> Kombination ohne Wiederholung: \(\binom{n}{k}\)
a) \(|A| = \binom{3}{3} = {\colorbox{yellow}{\(1\)}}\)
b) \(|B| = \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{\(4\)}}\)
c) \(|C| = \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{\(7\)}}\)
Zusatzinformation
\(A = \{KKK\}\)
\(B = \{KKZ,KZK,ZKK,\:KKK\}\)
\(C = \{ZZK,ZKZ,KZZ,\:KZZ,KZK,ZKK,\: KKK\}\)
3.) Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen
a)
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{\(1\)}}}{{\colorbox{orange}{\(8\)}}}\]
b)
\[P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{\(4\)}}}{{\colorbox{orange}{\(8\)}}} = \frac{1}{2}\]
c)
\[P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{\(7\)}}}{{\colorbox{orange}{\(8\)}}}\]
In obigem Beispiel hätte man die Mengen von \(E\) und \(\Omega\) auch ohne Anwendung kombinatorischer Formeln einfach abzählen können. In den meisten Aufgaben sind die Mengen allerdings so groß, dass ein Abzählen nicht möglich ist. Aus diesem Grund wurde auch in diesem einfachen Beispiel zu Übungszwecken auf die Kombinatorik zurückgegriffen.
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider