Laplace-Experiment

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

Für den 1. und 2. Schritt braucht man die Kombinatorik.

Beispiel

Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

a) dreimal \(K\),

b) mindestens zweimal \(K\)

c) mindestens einmal \(K\) zu werfen?

1.) Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen

> Variation mit Wiederholung: \(n^k\)

\(|\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{\(8\)}}\)

Zusatzinformation

\(\Omega = \{KKK,KKZ,KZK,ZKK,ZZK,ZKZ,KZZ,ZZZ\}\)

2.) Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen \(E\) eintritt

> Kombination ohne Wiederholung: \(\binom{n}{k}\)

a) \(|A| = \binom{3}{3} = {\colorbox{yellow}{\(1\)}}\)

b) \(|B| = \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{\(4\)}}\)

c) \(|C| = \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{\(7\)}}\)

Zusatzinformation

\(A = \{KKK\}\)

\(B = \{KKZ,KZK,ZKK,\:KKK\}\)

\(C = \{ZZK,ZKZ,KZZ,\:KZZ,KZK,ZKK,\: KKK\}\)

3.) Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

a)

\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{\(1\)}}}{{\colorbox{orange}{\(8\)}}}\]

b)

\[P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{\(4\)}}}{{\colorbox{orange}{\(8\)}}} = \frac{1}{2}\]

c)

\[P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{\(7\)}}}{{\colorbox{orange}{\(8\)}}}\]

In obigem Beispiel hätte man die Mengen von \(E\) und \(\Omega\) auch ohne Anwendung kombinatorischer Formeln einfach abzählen können. In den meisten Aufgaben sind die Mengen allerdings so groß, dass ein Abzählen nicht möglich ist. Aus diesem Grund wurde auch in diesem einfachen Beispiel zu Übungszwecken auf die Kombinatorik zurückgegriffen.