Laplace-Experiment

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Laplace-Experiment ist.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ein Laplace-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment:

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Beispiel 1 

Werfen eines Würfels

Beispiel 2 

Werfen einer Münze

Beispiel 3 

Ziehen einer Kugel aus einer Urne

Beispiel 4 

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel

Beispiel 5 

Lotto (z. B. 6 aus 49)

Beispiel 6 

Toto (Sportwetten)

Die oben genannten Glücksspiele behandelt man im Allgemeinen idealisiert als Laplace-Experimente.

Laplace-Würfel vs. Laplace-Münze

Dass es sich um ein Laplace-Experiment handelt, verrät bereits häufig die Aufgabenstellung. Oft ist nämlich von einem Laplace-Würfel oder Ähnlichem die Rede. Ein Laplace-Würfel (L-Würfel) ist ein idealer Würfel, bei dem das Auftreten jeder Augenzahl gleich wahrscheinlich ist. Eine ideale Münze bezeichnet man dementsprechend auch als Laplace-Münze (L-Münze).

Laplace-Wahrscheinlichkeit 

Definition 

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment heißt Laplace-Wahrscheinlichkeit.

Formel 

$$ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} $$

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ eines Laplace-Experiments ist gleich dem Quotienten aus den Mächtigkeiten des Ereignisses $E$ und des Ergebnisraums $\Omega$.

Bedeutung

  • $P(E)$ = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$
  • $|E|$ = Anzahl der Elementarereignisse, bei denen $E$ eintritt
  • $|\Omega|$ = Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse

Warnung

Die Formel zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit gilt nur, wenn die Elementarereignisse bei dem jeweiligen Experiment gleich wahrscheinlich sind. Hat man jedoch Grund zur Annahme, dass die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind, darf die Formel nicht angewendet werden!

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen 

Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen

Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

Für den 1. und 2. Schritt braucht man die Kombinatorik.

Beispiel 7 

Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal $K$ zu werfen?

Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen

Variation mit Wiederholung: $n^k$

$$ |\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{$8$}} $$

Zusatzinformation

$$ \Omega = \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ\} $$

Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt

Kombination ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$

$$ |A| = \binom{3}{3} = {\colorbox{yellow}{$1$}} $$

Zusatzinformation

$$ A = \{KKK\} $$

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

$$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{$1$}}}{{\colorbox{orange}{$8$}}} $$

Beispiel 8 

Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens zweimal $K$ zu werfen?

Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen

Variation mit Wiederholung: $n^k$

$$ |\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{$8$}} $$

Zusatzinformation

$$ \Omega = \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ\} $$

Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt

Kombination ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$

$$ |B| = \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{$4$}} $$

Zusatzinformation

$$ B = \{KKZ, KZK, ZKK, \: KKK\} $$

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

$$ P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{$4$}}}{{\colorbox{orange}{$8$}}} = \frac{1}{2} $$

Beispiel 9 

Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal $K$ zu werfen?

Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen

Variation mit Wiederholung: $n^k$

$$ |\Omega|= n^k = 2^3 = {\colorbox{orange}{$8$}} $$

Zusatzinformation

$$ \Omega = \{KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ\} $$

Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen $\boldsymbol{E}$ eintritt

Kombination ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$

$$ |C| = \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 3 + 1 = {\colorbox{yellow}{$7$}} $$

Zusatzinformation

$$ C = \{ZZK, ZKZ, KZZ, \: KZZ, KZK, ZKK, \: KKK\} $$

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

$$ P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{{\colorbox{yellow}{$7$}}}{{\colorbox{orange}{$8$}}} $$

In obigen Beispielen hätte man die Mengen von $E$ und $\Omega$ auch – ohne Anwendung kombinatorischer Formeln – einfach abzählen können. In den meisten Aufgaben sind die Mengen allerdings so groß, dass ein Abzählen nicht möglich ist. Aus diesem Grund wurde auch in diesen einfachen Beispielen zu Übungszwecken auf die Kombinatorik zurückgegriffen.

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