Elementarereignis
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Elementarereignis ist.
Erforderliches Vorwissen
- Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
- Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis
$\omega$(Klein-Omega
). - Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum
$\Omega$(Groß-Omega
). - Jede Teilmenge
$E$des Ergebnisraums$\Omega$heißt Ereignis. - Ein Ereignis
$E$tritt ein, wenn das Ergebnis$\omega$ein Element von$E$ist.
| Zufallsexperiment | Werfen eines Würfels |
| Ergebnisse | $\omega_1 = 1$, $\omega_2 = 2$, $\omega_3 = 3$, $\omega_4 = 4$, $\omega_5 = 5$, $\omega_6 = 6$ |
| Ergebnisraum | $$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ |
| Ereignis | $$E\colon \text{„Gerade Augenzahl“} \quad \Rightarrow \quad E = \{2, 4, 6\}$$ |
| Ereignis tritt ein | Wir würfeln eine $4$ $\Rightarrow$ $E = \{2, 4, 6\}$ ist eingetreten. |
Ziel
Wir wollen ein Ereignis formulieren, das genau ein Element von $\Omega$ enthält.
Definition
Ein Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis.
Elementarereignisse sind – im Gegensatz zu zusammengesetzten Ereignissen – nicht weiter zerlegbar. Sie sind gewissermaßen die Atome
der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Beispiel
Wer eine 6 würfelt, gewinnt
$$ E\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} \quad \Rightarrow \quad E = \{6\} $$
Unterschied zwischen Elementarereignis und Ergebnis
Kannst du ein Elementarereignis $\{\omega\}$ von einem Ergebnis $\omega$ begrifflich unterscheiden?
Ein Mathematiker würde sagen
- Ergebnisse sind die Elemente des Ergebnisraums
$\Omega$. - Elementarereignisse sind die einelementigen Teilmengen des Ergebnisraums
$\Omega$.
Deutlich anschaulicher ist folgende Erklärung:
- Ein Ergebnis
$\omega$ist ein Hut. - Ein Elementarereignis
$\{\omega\}$ist eine Hutschachtel, die einen Hut enthält.
Warum setzen wir die Ergebnisse eines Zufallsexperiments in Mengenklammern?
Ganz einfach: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf der Mengenlehre auf!
Ein Elementarereignis muss keine Zahl sein
Wir wissen bereits, dass ein Elementarereignis eine Zahl sein kann.
Werfen eines Würfels: Wer eine 6 würfelt, gewinnt
$$ E\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} \quad \Rightarrow \quad E = \{6\} $$
Auch Wörter oder Buchstaben kommen als Elementarereignisse in Frage.
Werfen einer Münze: Wenn Kopf oben liegt, gewinne ich
$$ E\colon \text{„Kopf“} \quad \Rightarrow \quad E = \{\text{Kopf}\} = \{\text{K}\} $$
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten sind Elementarereignisse Tupel.
