Erwartungswert

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Erwartungswert einer Verteilung ist.

Einordnung 

Wir wissen bereits, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable entweder

vollständig beschreiben lässt.

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Eine dieser Maßzahlen lernen wir im Folgenden etwas besser kennen.

Der Erwartungswert ist eine Maßzahl zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeits­verteilung.

Statt Maßzahl sagt man auch Kennzahl oder Kennwert.

Welche Aussage trifft der Erwartungswert?

Der Erwartungswert ist ein Lageparameter. Unter diesem Begriff werden alle Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen.

Der Erwartungswert beschreibt die zentrale Lage einer Verteilung.

Der Erwartungswert ist ein Mittelwert (umgangssprachlich: Durchschnittswert).

Erwartungswert einer diskreten Verteilung 

Ist $X$ eine diskrete Zufallsvariable, so heißt

$$ \mu_{X} = \textrm{E}(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i) $$

der Erwartungswert von $X$.

Beispiel 1 

Wir werfen einen Würfel.

Berechne den Erwartungswert.

Vorbereitung

Die Zufallsvariable $X$ sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.

Es gibt sechs mögliche Realisationen:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$, $x_5 = 5$, $x_6 = 6$

Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:

$$ p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6} $$

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X = x_i) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} $$

Berechnung

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \sum_i x_i \cdot P(X = x_i) \\[5px] &=1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \\[5px] &= 3{,}5 \end{align*} $$

Interpretation des Erwartungswerts

Wenn man beispielsweise 1000 Mal würfelt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5.

Das Beispiel zeigt, dass die Bezeichnung Erwartungswert irreführend sein kann: $\textrm{E}(X) = 3{,}5$ ist keineswegs der Wert, den man bei einem Wurf erwartet, denn 3,5 selbst kann nie als Augenzahl eintreten.

Beispiel 2 

Wir spielen eine Runde Roulette.

Berechne den Erwartungswert.

Vorbereitung

Die Zufallsvariable $X$ sei der Gewinn beim Roulette.

Wir setzen 1 € auf unsere Glückszahl. Falls wir gewinnen, erhalten wir 36 €. Unser Gewinn beträgt folglich 35 €, denn 1 € haben wir ja eingesetzt.

Zur Erinnerung: Beim Roulette kann man auf die Zahlen 0 bis 36 setzen.

Es gibt zwei Realisationen:
$x_1 = -1$ (falls wir verlieren)
$x_2 = 35$ (falls wir gewinnen)

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
$p_1 = \frac{36}{37}$ (in 36 von 37 Fällen verlieren wir)
$p_2 = \frac{1}{37}$ (in 1 von 37 Fällen gewinnen wir)

$$ \begin{array}{r|r|r} \text{Gewinn } x_i & -1 & 35 \\ \hline P(X = x_i) & \frac{36}{37} & \frac{1}{37} \end{array} $$

Berechnung

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \sum_i x_i \cdot P(X = x_i) \\[5px] &= -1 \cdot \frac{36}{37} + 35 \cdot \frac{1}{37} \\[5px] &= - \frac{1}{37} \approx -0{,}03 \end{align*} $$

Interpretation des Erwartungswerts

Wenn man beispielsweise 1000 Mal auf seine Glückszahl setzt, die Gewinne und Verluste zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von -3 Cent.

Bei einem fairen Spiel wäre der Erwartungswert gleich Null. Hier ist das Spiel unfair, da pro Runde im Schnitt ein Verlust von 3 Cent zu erwarten ist.

Erwartungswert einer stetigen Verteilung 

Ist $X$ eine stetige Zufallsvariable, so heißt

$$ \mu_{X} = \textrm{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \textrm{d}x $$

der Erwartungswert von $X$.

Dabei steht $f(x)$ für die Dichtefunktion.

Beispiel 3 

Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen -1 und 1.

Die Dichtefunktion des Zufallsgenerators ist

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < -1 \\[5px] 0{,}5 & \text{für } -1 \le x \le 1 \\[5px] 0 & \text{für } x > 1 \end{cases} \end{equation*} $$

Berechne den Erwartungswert.

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{-1}^{1} \! x \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{1}^{\infty} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{3. Abschnitt}} \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! x \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{2}x \, \textrm{d}x \\[5px] &= \left[\frac{1}{4}x^2\right]_{{\color{maroon}-1}}^{{\color{red}1}} \\[5px] &= \frac{1}{4}\cdot {\color{red}1}^2 - \frac{1}{4}\cdot ({\color{maroon}-1})^2 \\[5px] &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \\[5px] &= 0 \end{align*} $$

Interpretation des Erwartungswerts

Wenn man bespielsweise 1000 Mal den Zufallsgenerator startet, die Zufallszahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 0.

Da der Zufallsgenerator seine Werte symmetrisch im negativen und positiven Bereich streut, erwarten wir bei einer großen Anzahl an Zufallsexperimenten im Mittel den Wert 0.

Beispiel 4 

Gegeben ist eine Zufallsvariable $X$ mit der Dichtefunktion

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\[5px] \frac{1}{4}x & \text{für } 0 \le x < 2 \\[5px] 1 - \frac{1}{4}x & \text{für } 2 \le x \le 4 \\[5px] 0 & \text{für } x > 4 \end{cases} \end{equation*} $$

Berechne den Erwartungswert.

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{0}^{2} \! x \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{2}^{4} \! x \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x}_{\text{3. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{4}^{\infty} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{4. Abschnitt}} \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! x \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! x \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! \frac{1}{4}x^2 \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! x - \frac{1}{4}x^2 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \left[\frac{1}{12}x^3\right]_{{\color{maroon}0}}^{{\color{red}2}} + \left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^3\right]_{{\color{maroon}2}}^{{\color{red}4}} \\[5px] &= \left(\frac{1}{12} \cdot {\color{red}2}^3 - \frac{1}{12}\cdot {\color{maroon}0}^3\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{red}4}^2 - \frac{1}{12} \cdot {\color{red}4}^3 -\left(\frac{1}{2} \cdot {\color{maroon}2}^2 - \frac{1}{12} \cdot {\color{maroon}2}^3\right)\right) \\[5px] &= \left(\frac{2}{3} - 0\right) + \left(8 - \frac{16}{3} -\left(2 - \frac{2}{3}\right)\right) \\[5px] &= \frac{2}{3} - 0 + 8 - \frac{16}{3} -2 + \frac{2}{3} \\[5px] &= 2 \end{align*} $$

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