Wahrscheinlichkeitsfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.
[Alternative Bezeichnung: Zähldichte]

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist nur für diskrete Zufallsvariablen definiert!

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Hilfsmittel zur
Beschreibung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Funktion, also eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet.

Eine Funktion \(f\), die
jedem \(x\) einer Zufallsvariablen \(X\)
genau ein \(p\) aus \([0;1]\)
zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Kurzschreibweise: \(f: x \rightarrow p\)

Diese Definition lässt sich in einem Mengendiagramm sehr leicht veranschaulichen.




Eine Zufallsvariable ordnet
jedem \(\omega_i\) aus \(\Omega\)
genau ein \(x_i\) aus \(\mathbb{R}\)
zu.




Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet
jedem \(x_i\) aus \(\mathbb{R}\)
genau ein \(p_i\) aus \([0;1]\)
zu.

Der Vollständigkeit halber schauen wir uns die wichtigsten Zusammenhänge im Vergleich an:

Zufallsvariable \(X\)
Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f\)
\(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) \(f: \mathbb{R} \rightarrow [0;1]\)
\(X: \omega \rightarrow X(\omega)\) \(f: x \rightarrow f(x)\)
\(X(\omega) = x\) \(f(x) = P(X = x) = p\)

In Worten:
Die Werte, welche die Zufallsvariable \(X\) annimmt, werden mit \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\) bezeichnet.
Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten seien \(p_1\), \(p_2\),..., \(p_n\).
Es gilt also: \(P(X = x_1) = p_1\), \(P(X = x_2) = p_2\),...,\(P(X = x_n) = p_n\).

\(P(X = x)\) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass die Zufallsgröße \(X\) den Wert \(x\) annimmt.

Die Werte \(x_i\) bezeichnet man auch als „Realisationen“ der Zufallsvariablen.

Beachte: Die Zufallsvariable \(X\) kann keine anderen Werte als die oben angeführten
\(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\) annehmen, d.h. die Wahrscheinlichkeit für alle übrigen Werte ist jeweils 0.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f\) der Zufallsvariablen \(X\)
gibt die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Realisationen von \(X\) an:

\(\begin{equation*}
f(x) = P(X = x) =
\begin{cases} p_i & \text{für } x = x_i (i = 1,2,...,n) \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten gilt:

\[p_1 + p_2 + \dotsc + p_n = \sum_{i = 1}^{n} p_i = 1\]

Die bisherigen Ausführungen waren ziemlich theoretisch. Es wird Zeit für ein Beispiel...

Wahrscheinlichkeitsfunktion - Beispiel

Wir werfen eine Münze zweimal hintereinander.
Wenn 2x \(\text{ZAHL}\) fällt, verlieren wir 2 Euro.
Wenn 1x \(\text{KOPF}\) fällt, gewinnen wir 1 Euro.
Wenn 2x \(\text{KOPF}\) fällt, gewinnen wir 2 Euro.

Zufallsvariable: \(\omega \rightarrow x\)

Die Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis \(\omega\) seinen Gewinn \(x\) zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
\text{Ergebnis } \omega_i & ZZ & ZK & KZ & KK \\
\hline
\text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 1 & 2
\end{array}\)

b) Darstellung als abschnittweise definierte Funktion

\(\begin{equation*}
X(\omega) =
\begin{cases}
-2 & \text{für } \omega = ZZ \\
1 & \text{für } \omega = ZK \\
1 & \text{für } \omega = KZ \\
2 & \text{für } \omega = KK
\end{cases}
\end{equation*}\)

c) Darstellung als Mengendiagramm

Wahrscheinlichkeitsfunktion: \(x \rightarrow p\)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Gewinn \(x\) seine Wahrscheinlichkeit \(p\) zu.

Nebenrechnung

\(\Omega = \{ZZ,ZK,KZ,KK\}\)

\(|\Omega| = 4\)

Wahrscheinlichkeit für \(X = -2\)

\(E_1(X = -2) = \{ZZ\} \quad \Rightarrow |E_1| = 1\)
\[P(X = -2) = \frac{|E_1|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0,25\]

Wahrscheinlichkeit für \(X = 1\)

\(E_2(X = 1) = \{ZK,KZ\} \quad \Rightarrow |E_2| = 2\)
\[P(X = 1) = \frac{|E_2|}{|\Omega|} = \frac{2}{4} = 0,5\]

Wahrscheinlichkeit für \(X = 2\)

\(E_3(X = 2) = \{KK\} \quad \Rightarrow |E_3| = 1\)
\[P(X = 2) = \frac{|E_3|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0,25\]

a) Darstellung als Wertetabelle

\(\begin{array}{r|r|r|r}
\text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 2\\
\hline
\text{Wahrscheinlichkeit } p_i & 0,25 & 0,5 & 0,25
\end{array}\)

b) Darstellung als abschnittweise definierte Funktion

\(\begin{equation*}
f(x_i) = P(X = x_i) =
\begin{cases}
0,25 & \text{für } x = -2 \\
0,5 & \text{für } x = 1 \\
0,25 & \text{für } x = 2\\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\end{equation*}\)

c) Darstellung als Mengendiagramm

Darstellungsmöglichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsfunktion

Es gibt drei Möglichkeiten, um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion graphisch darzustellen:

  1. Funktionsgraph
  2. Stabdiagramm
  3. Histogramm

Beispiel (Fortsetzung)

\(\begin{equation*}
f(x_i) = P(X = x_i) =
\begin{cases}
0,25 & \text{für } x = -2 \\
0,5 & \text{für } x = 1 \\
0,25 & \text{für } x = 2 \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\end{equation*}\)

1. Funktionsgraph

Der Funktionsgraph besteht in diesem Fall aus den folgenden drei Punkten:
- \(P_1(-2|0,25)\)
- \(P_2(1|0,5)\)
- \(P_3(2|0,25)\)

2. Stabdiagramm

In einem Stabdiagramm haben die einzelnen Stäbe die Länge der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

3. Histogramm

Die Wahrscheinlichkeit wird in einem Histogramm durch die RechtecksFLÄCHE wiedergegeben. Die Breite ist frei wählbar.

In der nebenstehenden Abbildung gilt für die Rechtecksbreite: \(\Delta x = 1\).

Es ist ganz praktisch, eine Breite von 1 zu wählen, da sich die Wahrscheinlichkeiten dann an der senkrechten Achse ablesen lassen.

Wird die Breite z. B. halbiert, muss zum Ausgleich die Höhe verdoppelt werden, um dieselbe Fläche zu erhalten.

In der nebenstehenden Abbildung gilt für die Rechtecksbreite: \(\Delta x = 0,5\).

Wir merken uns:

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder

vollständig beschreiben.

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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