Wahrscheinlichkeitsfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Zähldichte) ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einschränkung

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist nur für diskrete Zufallsvariablen definiert.

Einsatzzweck

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Funktion, also eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet:

Eine Funktion $f$ , die jedem $x$ einer Zufallsvariable $X$ genau ein $p$ aus $[0;1]$ zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Kurzschreibweise: $f\colon x \to p$

Diese Definition lässt sich in einem Mengendiagramm sehr leicht veranschaulichen.

Eine Zufallsvariable ordnet jedem $\omega_i$ aus $\Omega$ genau ein $x_i$ aus $\mathbb{R}$ zu.

Abb. 1

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem $x_i$ aus $\mathbb{R}$ genau ein $p_i$ aus $[0;1]$ zu.

Abb. 2

Der Vollständigkeit halber schauen wir uns die wichtigsten Zusammenhänge im Vergleich an:

Zufallsvariable $\boldsymbol{X}$	Wahrscheinlichkeitsfunktion $\boldsymbol{f}$
$X\colon \Omega \to \mathbb{R}$	$f\colon \mathbb{R} \to [0;1]$
$X\colon \omega \to X(\omega)$	$f\colon x \to f(x)$
$X(\omega) = x$	$f(x) = P(X = x) = p$

Die Werte, welche die Zufallsvariable $X$ annimmt, werden mit $x_1$ , $x_2$ , … , $x_n$ bezeichnet. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten seien $p_1$ , $p_2$ , … , $p_n$ .

Es gilt also: $P(X = x_1) = p_1$ , $P(X = x_2) = p_2$ , … , $P(X = x_n) = p_n$ .

$\boldsymbol{P(X = x)}$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsgröße $X$ den Wert $x$ annimmt.

Die Werte $x_i$ bezeichnet man auch als Realisationen der Zufallsvariable.

Beachte: Die Zufallsvariable $X$ kann keine anderen Werte als die oben angeführten $x_1$ , $x_2$ , … , $x_n$ annehmen, d. h. die Wahrscheinlichkeit für alle übrigen Werte ist jeweils $0$ .

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $\boldsymbol{f}$ der Zufallsvariable $X$ gibt die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Realisationen von $X$ an:

$$ \begin{equation*} f(x) = P(X = x) = \begin{cases} p_i & \text{für } x = x_i (i = 1, 2, \dots, n) \\[5px] 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{equation*} $$

Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten gilt:

$$ p_1 + p_2 + \dotsc + p_n = \sum_{i = 1}^{n} p_i = 1 $$

Die bisherigen Ausführungen waren ziemlich theoretisch. Es wird Zeit für ein Beispiel…

Beispiel

Beispiel 1

Wir werfen eine Münze zweimal hintereinander.
Wenn 2x $\text{ZAHL}$ fällt, verlieren wir 2 Euro.
Wenn 1x $\text{KOPF}$ fällt, gewinnen wir 1 Euro.
Wenn 2x $\text{KOPF}$ fällt, gewinnen wir 2 Euro.

Zufallsvariable: $\boldsymbol{\omega \to x}$

Die Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis $\omega$ seinen Gewinn $x$ zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} \text{Ergebnis } \omega_i & ZZ & ZK & KZ & KK \\ \hline \text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 1 & 2 \end{array} $$

b) Darstellung als abschnittsweise definierte Funktion

$$ \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} -2 & \text{für } \omega = ZZ \\[5px] 1 & \text{für } \omega = ZK \\[5px] 1 & \text{für } \omega = KZ \\[5px] 2 & \text{für } \omega = KK \end{cases} \end{equation*} $$

c) Darstellung als Mengendiagramm

Abb. 3

Wahrscheinlichkeitsfunktion: $\boldsymbol{x \to p}$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Gewinn $x$ seine Wahrscheinlichkeit $p$ zu.

Nebenrechnung

$$ \Omega = \{ZZ,ZK,KZ,KK\} $$

$$ |\Omega| = 4 $$

Wahrscheinlichkeit für $X = -2$

$$ E_1(X = -2) = \{ZZ\} \quad \Rightarrow |E_1| = 1 $$

$$ P(X = -2) = \frac{|E_1|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$

Wahrscheinlichkeit für $X = 1$

$$ E_2(X = 1) = \{ZK,KZ\} \quad \Rightarrow |E_2| = 2 $$

$$ P(X = 1) = \frac{|E_2|}{|\Omega|} = \frac{2}{4} = 0{,}5 $$

Wahrscheinlichkeit für $X = 2$

$$ E_3(X = 2) = \{KK\} \quad \Rightarrow |E_3| = 1 $$

$$ P(X = 2) = \frac{|E_3|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$

a) Darstellung als Wertetabelle

$$ \begin{array}{r|r|r|r} \text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 2\\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } p_i & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{array} $$

b) Darstellung als abschnittsweise definierte Funktion

$$ \begin{equation*} f(x_i) = P(X = x_i) = \begin{cases} 0{,}25 & \text{für } x = -2 \\[5px] 0{,}5 & \text{für } x = 1 \\[5px] 0{,}25 & \text{für } x = 2\\[5px] 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{equation*} $$

c) Darstellung als Mengendiagramm

Abb. 4

Darstellung

Es gibt drei Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeitsfunktion graphisch darzustellen:

Funktionsgraph
Stabdiagramm
Histogramm

Beispiel 2

$$ \begin{equation*} f(x_i) = P(X = x_i) = \begin{cases} 0{,}25 & \text{für } x = -2 \\[5px] 0{,}5 & \text{für } x = 1 \\[5px] 0{,}25 & \text{für } x = 2 \\[5px] 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{equation*} $$

Funktionsgraph

Der Funktionsgraph besteht in diesem Fall aus den folgenden drei Punkten:

$P_1(-2|0{,}25)$
$P_2(1|0{,}5)$
$P_3(2|0{,}25)$

Abb. 5

Stabdiagramm

In einem Stabdiagramm haben die einzelnen Stäbe die Länge der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Abb. 6

Histogramm

Die Wahrscheinlichkeit wird in einem Histogramm durch die RechtecksFLÄCHE wiedergegeben. Die Breite ist frei wählbar.

In der Abbildung gilt für die Rechtecksbreite: $\Delta x = 1$ .

Es ist ganz praktisch, eine Breite von 1 zu wählen, da sich die Wahrscheinlichkeiten dann an der senkrechten Achse ablesen lassen.

Abb. 7

Wird die Breite z. B. halbiert, muss zum Ausgleich die Höhe verdoppelt werden, um dieselbe Fläche zu erhalten.

In der Abbildung gilt für die Rechtecksbreite: $\Delta x = 0{,}5$ .

Abb. 8