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Wahrscheinlichkeitsverteilung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
Oft wird auch einfach von einer „Verteilung“ gesprochen.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an,
wie sich die Wahrscheinlichkeiten
auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen lässt sich beschreiben durch:

Beispiel

Die Zufallsvariable \(X\) sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.

Es gibt sechs mögliche Realisationen:
\(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 4\), \(x_5 = 5\), \(x_6 = 6\)

Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
\(p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6}\)

1.) Wahrscheinlichkeitsfunktion \[\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \text{für } x = 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 2 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 3 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 4 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 5 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 6 \\ 0 & \text{sonst } \end{cases} \end{equation*}\] Merke: \(f(x) = P(X = x)\)

2.) Verteilungsfunktion \[\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } 1 \le x < 2 \\ \frac{2}{6} & \text{für } 2 \le x < 3 \\ \frac{3}{6} & \text{für } 3 \le x < 4 \\ \frac{4}{6} & \text{für } 4 \le x < 5 \\ \frac{5}{6} & \text{für } 5 \le x < 6 \\ 1 & \text{für } x \ge 6 \end{cases} \end{equation*}\] Merke: \(F(x) = P(X \le x)\)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion enthalten die gleiche Information.
Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.

Beispiele für diskrete Verteilungen

  • Binomialverteilung
  • Hypergeometrische Verteilung
  • Poisson-Verteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen lässt sich beschreiben durch:

Beispiel

Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen 2,5 und 4,5.

1.) Dichtefunktion

\(\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 2,5\\ \frac{1}{2} & \text{für } 2,5 \le x \le 4,5 \\ 0 & \text{für } x > 4,5 \end{cases} \end{equation*}\)

Merke: \(f(x) \neq P(X = x)\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable \(X\) einen bestimmten Wert \(x\) annimmt, ist stets Null. Folglich gilt:
\(P(X = x) = 0\)

Aus der Dichtefunktion selbst lassen sich keine Wahrscheinlichkeiten ablesen.
Vielmehr gibt die Fläche unter der Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit an.

Bei stetigen Zufallsvariablen verwendet man deshalb zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion:

\[F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u\]

Die Dichtefunktion hat nur die Aufgabe, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu vermitteln.

2.) Verteilungsfunktion

\(\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x \le 2,5\\ \frac{1}{2}x-\frac{5}{4} & \text{für } 2,5 < x < 4,5 \\ 1 & \text{für } x \geq 4,5 \end{cases} \end{equation*}\)

Merke: \(F(x) = P(X \le x)\)

Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion enthalten die gleiche Information.
Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.

Beispiele für stetige Verteilungen

  • Normalverteilung
  • Stetige Gleichverteilung
  • Exponentialverteilung

Wir merken uns:

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder

vollständig beschreiben.

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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