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Stochastische Unabhängigkeit

In diesem Kapitel schauen wir uns die stochastische Unabhängigkeit an.

Problemstellung

Gegeben sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\).
Es stellt sich die Frage, ob sich die beiden Ereignisse gegenseitig beeinflussen:
Wirkt sich das Eintreten des einen Ereignisses auf das Eintreten des anderen aus oder nicht?

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig,
wenn das Eintreten des einen Ereignissen
das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

Was man umgangssprachlich unter Unabhängigkeit versteht, gilt also auch in diesem Fall.

Beispiel

In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln.
Es werden nacheinander zwei Kugeln
a) mit Zurücklegen
b) ohne Zurücklegen
gezogen.

a) Ziehen mit Zurücklegen

Unabhängig davon, welche Farbe im 1. Zug gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, \(\frac{4}{10}\).



Unabhängig davon, welche Farbe im 1. Zug gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, \(\frac{6}{10}\).

Das Ziehen mit Zurücklegen führt zu unabhängigen Ereignissen.

b) Ziehen ohne Zurücklegen

Abhängig davon, welche Farbe im 1. Zug gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, entweder \(\frac{3}{9}\) oder \(\frac{4}{9}\).



Abhängig davon, welche Farbe im 1. Zug gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, entweder \(\frac{6}{9}\) oder \(\frac{5}{9}\).

Das Ziehen ohne Zurücklegen führt zu abhängigen Ereignissen.

In den folgenden beiden Abbildungen sind die Erkenntnisse, die wir aus dem obigen Beispiel gewonnen haben, verallgemeinert dargestellt.

Unabhängige Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von \(A\) im 2. Zug ist unabhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis \(B\) oder \(\bar{B}\) eintritt. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit gleich \(P(A)\).

Abhängige Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von \(A\) im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis \(B\) oder \(\bar{B}\) eintritt:
\(P_B(A)\) ist die Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung, dass \(B\) eingetreten ist.
\(P_{\bar{B}}(A)\) ist die Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung, dass \(\bar{B}\) eingetreten ist.

Wir haben gesehen, dass sich Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen verändern können, wenn bereits andere Ereignisse eingetreten sind. Um diesen Einfluss zu untersuchen, haben Mathematiker den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt. Dieses Thema wird im nächsten Kapitel ausführlich behandelt.

Stochastische Unabhängigkeit - Herleitung

In Mathematikbüchern wird die stochastische Unabhängigkeit meist folgendermaßen definiert:

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:

\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

Gilt die obige Gleichung nicht, dann heißen die Ereignisse stochastisch abhängig.

Herleitung der Formel

Um die Formel für die stochastische Unabhängigkeit herzuleiten, müssen wir lediglich die 1. Pfadregel auf das Baumdiagramm für unabhängige Ereignisse anwenden.

1. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.


\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

Unabhängigkeit und Baumdiagramm

Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse
hat jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast in einem Baumdiagramm die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Äste, die in die gleiche Richtung zeigen, stehen parallel zueinander. In der Abbildung sind sie rot (grün) hervorgehoben.

Wenn die Ereignisse \(A\) und \(B\) unabhängig sind,
dann sind dies auch \(\bar{A}\) und \(B\), \(A\) und \(\bar{B}\) sowie \(\bar{A}\) und \(\bar{B}\).

Für zwei unabhängige Ereignisse gilt:


\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
\(P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B)\)


\(P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B})\)
\(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})\)

Beispiel

\(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig. Vervollständige das Baumdiagramm.

Gegeben:
- \(P(A \cap B) = 0,12\)
- \(P(\bar{B}) = 0,6\)

\(P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,6 = 0,4\) \[P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,12}{0,4} = 0,3\] \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7\)

\(P(\bar{A} \cap B) = 0,7 \cdot 0,4 = 0,28\)

\(P(A \cap \bar{B}) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\)
\(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,7 \cdot 0,6 = 0,42\)

Unabhängigkeit und Vierfeldertafel

Bei stochastischer Unabhängigkeit zweier Ereignisse
ist die Wahrscheinlichkeit eines Feldes in der Vierfeldertafel
gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
der zugehörigen Zeile und der zugehörigen Spalte.

Für zwei unabhängige Ereignisse gilt:


\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
\(P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B})\)


\(P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B)\)
\(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})\)

Beispiel

\(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Gegeben:
- \(P(A \cap B) = 0,12\)
- \(P(\bar{B}) = 0,6\)

\(P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,6 = 0,4\) \[P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,12}{0,4} = 0,3\] \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7\)

\(P(A \cap \bar{B}) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\)
\(P(\bar{A} \cap B) = 0,7 \cdot 0,4 = 0,28\)
\(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,7 \cdot 0,6 = 0,42\)

Die Anwendung der stochastischen Unabhängigkeit geschieht meist in der Form, dass man die Unabhängigkeit aufgrund der Versuchsbeschreibung (z. B. Ziehen mit Zurücklegen) als gegeben ansieht und daraufhin die Formel \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) benutzt,
um die Wahrscheinlichkeit \(P(A \cap B)\)
mit Hilfe der bekannten Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(A)\) und \(P(B)\) zu berechnen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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