Diskrete Verteilung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine diskrete Verteilung ist.
[Alternative Bezeichnung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an,
wie sich die Wahrscheinlichkeiten
auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen lässt sich beschreiben durch:

Beispiel

Die Zufallsvariable \(X\) sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.

Es gibt sechs mögliche Realisationen:
\(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 4\), \(x_5 = 5\), \(x_6 = 6\)

Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
\(p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6}\)

1.) Wahrscheinlichkeitsfunktion

\[\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \text{für } x = 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 2 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 3 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 4 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 5 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 6 \\ 0 & \text{sonst } \end{cases} \end{equation*}\]

Merke: \(f(x) = P(X = x)\)

2.) Verteilungsfunktion

\[\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } 1 \le x < 2 \\ \frac{2}{6} & \text{für } 2 \le x < 3 \\ \frac{3}{6} & \text{für } 3 \le x < 4 \\ \frac{4}{6} & \text{für } 4 \le x < 5 \\ \frac{5}{6} & \text{für } 5 \le x < 6 \\ 1 & \text{für } x \ge 6 \end{cases} \end{equation*}\]

Merke: \(F(x) = P(X \le x)\)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion enthalten die gleiche Information.
Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.

Beispiele für diskrete Verteilungen

  • Binomialverteilung
  • Hypergeometrische Verteilung
  • Poisson-Verteilung

Wir merken uns:

Eine diskrete Verteilung lässt sich entweder

vollständig beschreiben.

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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