Verteilungs­funktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Verteilungsfunktion (Kumulative Verteilungsfunktion) ist.

Einsatzzweck 

Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten oder stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Definition 

Die Verteilungsfunktion ist eine Funktion, also eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet.

Eine Funktion $F$, die jedem $x$ einer Zufallsvariable $X$ genau eine Wahrscheinlichkeit $P(X \le x)$ zuordnet, heißt Verteilungsfunktion.

Kurzschreibweise: $F\colon x \to P(X \le x)$

Diskrete Verteilungsfunktion 

Eine Zufallsvariable ordnet jedem $\omega_i$ aus $\Omega$ genau ein $x_i$ aus $\mathbb{R}$ zu.

Abb. 1 

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem $x_i$ aus $\mathbb{R}$ genau ein $P(X = x_i)$ aus $[0;1]$ zu.

Abb. 2 

Eine Verteilungsfunktion ordnet jedem $x_i$ aus $\mathbb{R}$ genau ein $P(X \le x_i)$ aus $[0;1]$ zu.

Abb. 3 

Der Vollständigkeit halber schauen wir uns die wichtigsten Zusammenhänge im Vergleich an:

Zufallsvariable $\boldsymbol{X}$Wahrscheinlichkeitsfunktion $\boldsymbol{f}$Verteilungsfunktion $\boldsymbol{F}$
$X\colon \Omega \to \mathbb{R}$$f\colon \mathbb{R} \to [0;1]$$F\colon \mathbb{R} \to [0;1]$
$X\colon \omega \to X(\omega)$$f\colon x \to f(x)$$F\colon x \to F(x)$
$X(\omega) = x$$f(x) = P(X = x)$$F(x) = P(X \le x)$

Die Verteilungsfunktion ordnet jedem $x$ eine Wahrscheinlichkeit $P(X \le x)$ zu.

$\boldsymbol{P(X \le x)}$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable $X$ höchstens den Wert $x$ annimmt.

Die bisherigen Ausführungen waren ziemlich theoretisch. Es wird Zeit für ein Beispiel…

Beispiel 

Beispiel 1 

Wir werfen eine Münze zweimal hintereinander.
Wenn 2x $\text{ZAHL}$ fällt, verlieren wir 2 Euro.
Wenn 1x $\text{KOPF}$ fällt, gewinnen wir 1 Euro.
Wenn 2x $\text{KOPF}$ fällt, gewinnen wir 2 Euro.

Zufallsvariable: $\boldsymbol{\omega \to x}$

Die Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis $\omega$ seinen Gewinn $x$ zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} \text{Ergebnis } \omega_i & ZZ & ZK & KZ & KK \\ \hline \text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 1 & 2 \end{array} $$

b) Darstellung als abschnittsweise definierte Funktion

$$ \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} -2 & \text{für } \omega = ZZ \\[5px] 1 & \text{für } \omega = ZK \\[5px] 1 & \text{für } \omega = KZ \\[5px] 2 & \text{für } \omega = KK \end{cases} \end{equation*} $$

c) Darstellung als Mengendiagramm

Abb. 4 

Wahrscheinlichkeitsfunktion: $\boldsymbol{x \to P(X = x)}$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Gewinn $x$ seine Wahrscheinlichkeit zu.

Nebenrechnung

$$ \Omega = \{ZZ,ZK,KZ,KK\} $$

$$ |\Omega| = 4 $$

Wahrscheinlichkeit für $X = -2$

$$ E_1(X = -2) = \{ZZ\} \quad \Rightarrow |E_1| = 1 $$

$$ P(X = -2) = \frac{|E_1|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$

Wahrscheinlichkeit für $X = 1$

$$ E_2(X = 1) = \{ZK,KZ\} \quad \Rightarrow |E_2| = 2 $$

$$ P(X = 1) = \frac{|E_2|}{|\Omega|} = \frac{2}{4} = 0{,}5 $$

Wahrscheinlichkeit für $X = 2$

$$ E_3(X = 2) = \{KK\} \quad \Rightarrow |E_3| = 1 $$

$$ P(X = 2) = \frac{|E_3|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$

a) Darstellung als Wertetabelle

$$ \begin{array}{r|r|r|r} \text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 2\\ \hline f(x_i) = P(X = x_i) & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{array} $$

b) Darstellung als abschnittsweise definierte Funktion

$$ \begin{equation*} f(x_i) = P(X = x_i) = \begin{cases} 0{,}25 & \text{für } x = -2 \\[5px] 0{,}5 & \text{für } x = 1 \\[5px] 0{,}25 & \text{für } x = 2 \\[5px] 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{equation*} $$

c) Darstellung als Mengendiagramm

Abb. 5 

Verteilungsfunktion: $\boldsymbol{x \to P(X \le x)}$

Die Verteilungsfunktion ordnet jedem Gewinn $x$ seine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu.

$$ F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_i \le x} P(X = x_i) $$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße $X$ kleiner gleich $x$ ist, entspricht der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten $x_i$, solange $x_i$ kleiner gleich $x$ ist.

Nebenrechnung

Wahrscheinlichkeit für $X \le -2$

$$ \begin{align*} P(X \le -2) &= P(X = -2) \\[5px] &= 0{,}25 \end{align*} $$

Wahrscheinlichkeit für $X \le 1$

$$ \begin{align*} P(X \le 1) &= P(X = -2) + P(X = 1) \\[5px] &= 0{,}25 + 0{,}5 \\[5px] &= 0{,}75 \end{align*} $$

Wahrscheinlichkeit für $X \le 2$

$$ \begin{align*} P(X \le 2) &= P(X = -2) + P(X = 1) + P(X = 2) \\[5px] &= 0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 \\[5px] &= 1 \end{align*} $$

a) Darstellung als Wertetabelle

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c} \text{Gewinn } x_i \in & ]-\infty;-2[ & [-2;1[ & [1;2[ & [2;\infty[ \\ \hline F(x_i) = P(X \le x_i) & 0 & 0{,}25 & 0{,}75 & 1 \end{array} $$

b) Darstellung als abschnittsweise definierte Funktion

$$ \begin{equation*} F(x_i) = P(X \le x_i) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < -2 \\[5px] 0{,}25 & \text{für } -2 \le x < 1 \\[5px] 0{,}75 & \text{für } 1 \le x < 2 \\[5px] 1 & \text{für } x \ge 2 \end{cases} \end{equation*} $$

c) Darstellung als Mengendiagramm

Abb. 6 

Wahrscheinlichkeiten berechnen 

$$ P(X \le a) = F(a) $$

$$ P(X < a) = F(a) - P(X = a) $$

$$ P(X > a) = 1 - F(a) $$

$$ P(X \geq a) = 1 - F(a) + P(X = a) $$

$$ P(a < X \le b) = F(b) - F(a) $$

$$ P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) + P(X = a) $$

$$ P(a < X < b) = F(b) - F(a) - P(X = b) $$

$$ P(a \le X < b) = F(b) - F(a) + P(X = a) - P(X = b) $$

Aufgabenstellung

$$ \begin{equation*} F(x_i) = P(X \le x_i) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < -2 \\[5px] 0{,}25 & \text{für } -2 \le x < 1 \\[5px] 0{,}75 & \text{für } 1 \le x < 2 \\[5px] 1 & \text{für } x \ge 2 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 2 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht man höchstens 1 € Gewinn?

$$ \begin{align*} P(X \le 1) &= F(1) \\[5px] &= 0{,}75 \\[5px] &= 75\ \% \end{align*} $$

Beispiel 3 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht man mehr als 1 € und höchstens 2 € Gewinn?

$$ \begin{align*} P(1 < X \le 2) &= P(X \le 2) - P(X \le 1) \\[5px] &= F(2) - F(1) \\[5px] &= 1 - 0{,}75 \\[5px] &= 0{,}25 \\[5px] &= 25\ \% \end{align*} $$

Beispiel 4 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit man mehr als -2 € Gewinn?

$$ \begin{align*} P(X > - 2) &= 1 - P(X \le -2) \\[5px] &= 1 - F(-2) \\[5px] &= 1 - 0{,}25 \\[5px] &= 0{,}75 \\[5px] &= 75\ \% \end{align*} $$

$$ P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1}) $$

Beispiel 5 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man genau 1 €?

$$ \begin{align*} P(X = 1) &= P(X \le 1) - P(X \le -2) \\[5px] &= F(1) - F(-2) \\[5px] &= 0{,}75 - 0{,}25 \\[5px] &= 0{,}5 \\[5px] &= 50\ \% \end{align*} $$

Graph 

Die Verteilungsfunktion $F$ einer diskreten Zufallsgröße $X$ ist eine Treppenfunktion.

Beispiel 6 

$$ \begin{equation*} F(x_i) = P(X \le x_i) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < -2 \\[5px] 0{,}25 & \text{für } -2 \le x < 1 \\[5px] 0{,}75 & \text{für } 1 \le x < 2 \\[5px] 1 & \text{für } x \ge 2 \end{cases} \end{equation*} $$

Die Verteilungsfunktion $F$ hat an den Stellen $x = x_i$ eine Sprungstelle: Rote Punkte gehören zum Graphen der Funktion, weiße Punkte dagegen nicht. Die roten Punkte werden oft weggelassen.

Abb. 7 

Merke: Die Höhe des Sprungs von $F(x)$ im Punkt $x_i$ entspricht $P(X = x_i)$.

Eigenschaften einer Verteilungsfunktion

  • $F(x)$ ist monoton steigend.

  • $F(x)$ ist rechtsseitig stetig.

  • $\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0$ und $\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1$

Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen.

Stetige Verteilungsfunktion 

Bei diskreten Zufallsvariablen können wir zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion wählen, wenn man Wahrscheinlichkeiten berechnen will.

Bei stetigen Zufallsvariablen verwendet man zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten immer die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich aus der Integration der Dichtefunktion:

$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Daraus lässt sich eine wichtige Eigenschaft ableiten:

$$ P(X = x) = 0 $$

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt, ist stets Null.

Grund dafür ist, dass die Fläche über einem Punkt $x$ gleich Null ist:

$$ P(X = x) = \int_{x}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u = F(x) - F(x) = 0 $$

Aus dieser Eigenschaft folgt

$$ \Rightarrow \quad P(X \le a) = P(X < a) = F(a) $$

$$ \Rightarrow \quad P(a \le X \le b) = P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) = F(b) - F(a) $$

$$ \Rightarrow \quad P(X > a) = P(X \geq a) = 1 - P(X < a) = 1 - P(X \le a) = 1 - F(a) $$

Zusammenhang zwischen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Beispiel 7 

$$ P(X \le 3) = \int_{-\infty}^{3} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 3)$ ist gleich der Fläche zwischen der Dichtefunktion $f$, der $x$-Achse und der senkrechten Gerade $x = 3$.

Abb. 8 

$$ P(X \le 3) = F(3) $$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 3)$ entspricht dem Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle $x = 3$.

Abb. 9 

Beispiel 8 

$$ P(2 < X \le 3) = \int_{2}^{3} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Die Wahrscheinlichkeit $P(2 < X \le 3)$ ist gleich der Fläche zwischen der Dichtefunktion $f$, der $x$-Achse und den beiden senkrechten Geraden bei $x = 2$ und $x = 3$.

Abb. 10 

$$ P(2 < X \le 3) = F(3) - F(2) $$

Die Wahrscheinlichkeit $P(2 < X \le 3)$ entspricht dem Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle $x = 3$ abzüglich des Funktionswerts der Verteilungsfunktion an der Stelle $x = 2$.

Abb. 11 

Beispiel 9 

$$ P(X > 4) = \int_{4}^{\infty} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 3)$ ist gleich der Fläche zwischen der senkrechten Gerade $x = 4$ der Dichtefunktion $f$ und der $x$-Achse.

Abb. 12 

$$ P(X > 4) = 1 - F(4) $$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X > 4)$ entspricht 1 abzüglich des Funktionswerts der Verteilungsfunktion an der Stelle $x = 4$.

Abb. 13 

Falls du die Gleichung $P(X > 4) = 1 - F(4)$ nicht verstehst, mach dir Folgendes klar:

$P(X > 4)$ ist dasselbe wie $P(4 < X < \infty)$

$$ P(4 < X < \infty) = F(\infty) - F(4) $$

$$ F(\infty) = \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, \textrm{d}x = 1 $$ In Worten: Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt $1$.

Beispiel 

Beispiel 10 

Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen 2 und 4.

Gegeben ist die Dichtefunktion

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 2 \\[5px] \frac{1}{2} & \text{für } 2 \le x \le 4 \\[5px] 0 & \text{für } x > 4 \end{cases} \end{equation*} $$

Berechne die Verteilungsfunktion.

1. Intervall: $\boldsymbol{x < 2}$

$$ \begin{align*} F(x) &= \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u \\[5px] &= \int_{-\infty}^{x} \! 0 \, \textrm{d}u \\[5px] &= 0 \end{align*} $$

2. Intervall $\boldsymbol{2 \le x \le 4}$

$$ \begin{align*} F(x) &= \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u \\[5px] &= \int_{-\infty}^{2} \! 0 \, \textrm{d}u + \int_{2}^{x} \! \frac{1}{2} \, \textrm{d}u \\[5px] &= 0 + \left[\frac{1}{2}u\right]_{2}^{x} \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \cdot 2 \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$

3. Intervall: $\boldsymbol{x > 4}$

$$ F(x) = 1 $$

Zusammenfassung

$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 2 \\[5px] \frac{1}{2}x - 1 & \text{für } 2 \le x \le 4 \\[5px] 1 & \text{für } x > 4 \end{cases} \end{equation*} $$

Wahrscheinlichkeiten berechnen 

$$ P(X \le a) = F(a) $$

$$ P(a < X \le b) = F(b) - F(a) $$

$$ P(X > a) = 1 - F(a) $$

Für stetige Zufallsvariablen gilt außerdem:

$$ P(X \le a) = P(X < a) $$

$$ P(a < X \le b) = P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) $$

$$ P(X > a) = P(X \geq a) = 1 - P(X < a) = 1 - P(X \le a) $$

Ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören oder nicht, spielt keine Rolle.

Aufgabenstellung

$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 2 \\[5px] \frac{1}{2}x - 1 & \text{für } 2 \le x \le 4 \\[5px] 1 & \text{für } x > 4 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 11 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $X$ kleiner als 2,5?

$$ \begin{align*} P(X < 2{,}5) &= F(2{,}5) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 2{,}5 - 1 \\[5px] &= 0{,}25 \\[5px] &= 25\ \% \end{align*} $$

Beispiel 12 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $X$ zwischen 3,2 und 3,4?

$$ \begin{align*} P(3{,}2 < X < 3{,}4) &= F(3{,}4) - F(3{,}2) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 3{,}4 - 1 - \left(\frac{1}{2} \cdot 3{,}2 - 1\right) \\[5px] &= 0{,}7 - 0{,}6 \\[5px] &= 0{,}1 \\[5px] &= 10\ \% \end{align*} $$

Beispiel 13 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $X$ größer als 3,7?

$$ \begin{align*} P(X > 3{,}7) &= 1 - P(X \le 3{,}7) \\[5px] &= 1 - F(3{,}7) \\[5px] &= 1 - \left(\frac{1}{2} \cdot 3{,}7 - 1\right) \\[5px] &= 1 - 0{,}85 \\[5px] &= 0{,}15 \\[5px] &= 15\ \% \end{align*} $$

Graph 

Normalverteilung 

Dichtefunktion

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $$

Im Beispiel gilt:
$\mu = 3$
$\sigma = 1$

Abb. 14 / Dichtefunktion einer Normalverteilung 

Verteilungsfunktion

$$ F(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\! \textrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{u-\mu}{\sigma}\right)^2} \textrm{d}u $$

Im Beispiel gilt:
$\mu = 3$
$\sigma = 1$

Abb. 15 / Verteilungsfunktion einer Normalverteilung 

Stetige Gleichverteilung 

Dichtefunktion

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < a \\[5px] \frac{1}{b-a} & \text{für } a \le x \le b \\[5px] 0 & \text{für } x > b \end{cases} \end{equation*} $$

Im Beispiel gilt:
$a = 2$
$b = 4$

Abb. 16 / Dichtefunktion einer stetigen Gleichverteilung 

Verteilungsfunktion

$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x \le a \\[5px] \frac{x-a}{b-a} & \text{für } a < x < b \\[5px] 1 & \text{für } x \ge b \end{cases} \end{equation*} $$

Im Beispiel gilt:
$a = 2$
$b = 4$

Abb. 17 / Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung 

Exponentialverteilung 

Dichtefunktion

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ \dfrac{1}{\mu}\textrm{e}^{-\frac{x}{\mu}} & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Im Beispiel gilt:
$\mu = 3$

Abb. 18 / Dichtefunktion einer Exponentialverteilung 

Verteilungsfunktion

$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ 1-\textrm{e}^{-\frac{x}{\mu}} & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Im Beispiel gilt:
$\mu = 3$

Abb. 19 / Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung 

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