Variation mit Wiederholung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Variation mit Wiederholung.

Es lohnt sich, zunächst den Einführungsartikel zur Kombinatorik durchzulesen.

Bei einer Variation mit Wiederholung werden \(k\) aus \(n\) Objekten unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei Objekte auch mehrfach ausgewählt werden können.

\(n^k\)

Herleitung der Formel

Wir wollen \(k\) aus \(n\) Objekten unter Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung (im Urnenmodell: mit Zurücklegen) auswählen.

Für das erste Objekt gibt es \(n\) Auswahlmöglichkeiten. Da Objekte mehrfach ausgewählt werden dürfen, gibt es auch für das zweite, dritte und k-te Objekt ebenfalls \(n\) Möglichkeiten. Dementsprechend gilt:

\[n \cdot n \cdot \text{...} \cdot n =n^k\]

Variation mit Wiederholung - Beispiele

Aufgabe 1

In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln mit Zurücklegen (= mit Wiederholung) und unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Lösung zur Aufgabe 1

\[5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\]

Antwort: Es gibt 125 Möglichkeiten 3 aus 5 Kugeln mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge zu ziehen.

Aufgabe 2

Beim Fußballtoto kann bei jedem der elf Spiele eine 1 (Heimmannschaft gewinnt), eine 0 (Unentschieden) oder eine 2 (Gastmannschaft gewinnt) angekreuzt werden. Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es?

Lösung zur Aufgabe 2

\[3^{11} = 177.147\]

Antwort: Es gibt 177.147 Tippmöglichkeiten beim Fußballtoto.

Mehr zur abzählenden Kombinatorik

Die Variation mit Wiederholung gehört zur abzählenden Kombinatorik. Dabei handelt es sich um den Teilbereich der Kombinatorik, der sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen, Kombinationen) beschäftigt.

   

Menge

Reihenfolge

Permutation ohne Wiederholung \(n!\) \(n\) aus \(n\) wird beachtet
Permutation mit Wiederholung \(\frac{n!}{k_1! \cdot  k_2! \cdot \text{...} \cdot k_s!}\) \(n\) aus \(n\) wird beachtet
Variation ohne Wiederholung \(\frac{n!}{(n-k)!}\) \(k\) aus \(n\) wird beachtet
Variation mit Wiederholung \(n^k\) \(k\) aus \(n\) wird beachtet
Kombination ohne Wiederholung \({n \choose k}\) \(k\) aus \(n\) wird nicht beachtet
Kombination mit Wiederholung \({n+k-1 \choose k}\) \(k\) aus \(n\) wird nicht beachtet

Sind die Objekte untereinander unterscheidbar, so spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "ohne Wiederholung" (derselben Objekte). Falls die Objekte jedoch nicht unterscheidbar sind, spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "mit Wiederholung". Im Urnenmodell sagt man statt "ohne Wiederholung" einfach "ohne Zurücklegen" und zu "mit Wiederholung" entsprechend "mit Zurücklegen".

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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