Permutation ohne Wiederholung
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten.
In diesem Kapitel schauen wir uns die Permutation ohne Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, voneinander unterscheidbare Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine Anordnung von $n$ Objekten, die alle unterscheidbar sind.
Formel
Es gibt $n!$ (sprich: n Fakultät
) Möglichkeiten $n$ unterscheidbare Objekte in einer Reihe anzuordnen.
Herleitung
Wir haben $n$ unterscheidbare Objekte, die wir auf $n$ Plätze in einer Reihe nebeneinander anordnen wollen.
Für das erste Objekt gibt es $n$ Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben $(n-1)$ Möglichkeiten, für das dritte Objekt $(n-2)$…und für das letzte Objekt verbleibt nur noch $1$ Möglichkeit.
In mathematischer Schreibweise sieht das folgendermaßen aus:
$$ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1 = n! $$
Der Ausdruck $n!$ heißt Fakultät und ist eine abkürzende Schreibweise für das oben beschriebene Produkt.
Wichtige Werte
$$ 0! = 1 $$
$$ 1! = 1 $$
Spezialfall: Anordnung in einem Kreis
Es gibt $(n-1)!$ Möglichkeiten, $n$ unterscheidbare Objekte in einem Kreis anzuordnen.
Beispiele
In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
$$ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $$
Es gibt 120 Möglichkeiten fünf verschiedenfarbige Kugeln in einer Reihe anzuordnen.
In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einem Kreis anzuordnen?
$$ (5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$
Es gibt 24 Möglichkeiten fünf verschiedenfarbige Kugeln in einem Kreis anzuordnen.
Fünf Damen und fünf Herren passieren nacheinander eine Drehtür.
a) Auf wie viele Arten können sie dies?
b) Wie viele Möglichkeiten verbleiben, wenn die fünf Damen den Vortritt haben?
a) $10! = 3.628.800$
b) $5! \cdot 5! = 14.400$
Die Lösung zur Teilaufgabe b) basiert auf der Produktregel der Kombinatorik, welche im vorhergehenden Kapitel ausführlich erklärt ist.
