Allgemeines Zählprinzip

In diesem Kapitel schauen wir uns das allgemeine Zählprinzip an. Häufig spricht man auch von der Produktregel der Kombinatorik.

Erforderliches Vorwissen

Einführungsbeispiel 

Beispiel 1 

Markus besitzt 3 Paar Schuhe, 2 Hosen und 4 T-Shirts.

Wie oft muss er sich anziehen, wenn er alle Kombinationsmöglichkeiten ausprobieren will?

Zu jedem seiner 3 Paar Schuhe hat er 2 Möglichkeiten, eine Hose hinzuzufügen: Damit gibt es $3 \cdot 2 = 6$ Schuhe-Hose-Kombinationen.

Zu jeder dieser 6 Möglichkeiten hat er 4 verschiedene T-Shirts zur Auswahl: Damit gibt es insgesamt $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ Schuhe-Hose-T-Shirt-Kombinationen.

Definition 

Gegeben seien $k$ Mengen $M_1, M_2, \dots, M_k$, die jeweils $n_1, n_2, \dots, n_k$ Elemente enthalten, dann lassen sich $\boldsymbol{n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k}$ verschiedene $k$-Tupel $(x_1, x_2, \dots, x_k)$ zusammenstellen.

Zur Erinnerung: Unter einem $k$-Tupel versteht man eine Aufzählung von $k$ nicht notwendig voneinander verschiedenen mathematischen Objekten in einer vorgegebenen, festen Reihenfolge aus einer $n$-Menge.

Beispiel 2 

Gehen wir zurück zu unserem Schuhe-Hose-T-Shirt-Beispiel: Die $n$-Menge sind die 24 verschiedenen Schuhe-Hose-T-Shirt-Kombinationen, die wir berechnet haben. Eine Kombination – z. B. (Schuh 2, Hose 1, T-Shirt 3) – ist dann ein $k$-Tupel. Dieser Tupel besteht aus dem zweiten Paar Schuhen, der ersten Hose und dem dritten T-Shirt. Ein anderer Tupel wäre (Schuh 3, Hose 2, T-Shirt 2).

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