Variation ohne Wiederholung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Variation ohne Wiederholung.
Es lohnt sich, zunächst den Einführungsartikel zur Kombinatorik durchzulesen.
Bei einer Variation ohne Wiederholung werden \(k\) aus \(n\) Objekten unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Objekt nur einmal ausgewählt werden kann.
\[\frac{n!}{(n-k)!}\]
Herleitung der Formel
Wir wollen \(k\) aus \(n\) Objekten unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung (im Urnenmodell: ohne Zurücklegen) auswählen.
Für das erste Objekt gibt es \(n\) Auswahlmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben \((n-1)\) Möglichkeiten, für das dritte Objekt \((n-2)\)....und für das letzte Objekt verbleiben noch \((n-k+1)\) Möglichkeiten.
\[n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \text{...} \cdot (n-k+1)\]
Der Anfang ähnelt der Formel für die Fakultät \(n!\)
\(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \text{...} \cdot 1\)
Die Formel für die Variation ohne Wiederholung endet jedoch nicht mit dem Faktor 1, sondern bereits mit dem Faktor \((n-k+1)\). Dieses verkürzte Produkt entsteht also aus \(n!\) durch "Weglassen" des nachfolgenden Produktes \((n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \text{...} \cdot 2 \cdot 1\); rechnerisch bedeutet das die Division von \(n!\) durch \((n-k)!\):
\[n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \text{...} \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}\]
Variation ohne Wiederholung in den Taschenrechner eingeben
Wie gibt man den folgenden Ausdruck am besten in den Taschenrechner ein?
\[\frac{15!}{(15-4)!}\]
Bei den meisten Taschenrechner gibt es dafür die "nPr"-Taste.
Beispiel Casio: [1][5] [Shift][X] [4] [=] 32760
Variation ohne Wiederholung - Beispiele
Aufgabe 1
In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Zurücklegen (= ohne Wiederholung) und unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung zur Aufgabe 1
\[\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\]
Antwort: Es gibt 60 Möglichkeiten 3 aus 5 Kugeln ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge zu ziehen.
Aufgabe 2
Bei einem Pferderennen nehmen 10 Pferde teil. Nur die ersten drei Plätze werden prämiert. Auf wie viele verschiedene Arten kann sich die "Top 3" zusammensetzen?
Lösung zur Aufgabe 2
\[\frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\]
Antwort: Für die Zusammensetzung der "Top 3" gibt es 720 Möglichkeiten.
Mehr zur abzählenden Kombinatorik
Die Variation ohne Wiederholung gehört zur abzählenden Kombinatorik. Dabei handelt es sich um den Teilbereich der Kombinatorik, der sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen, Kombinationen) beschäftigt.
|
Menge |
Reihenfolge |
||
| Permutation ohne Wiederholung | \(n!\) | \(n\) aus \(n\) | wird beachtet |
| Permutation mit Wiederholung | \(\frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \text{...} \cdot k_s!}\) | \(n\) aus \(n\) | wird beachtet |
| Variation ohne Wiederholung | \(\frac{n!}{(n-k)!}\) | \(k\) aus \(n\) | wird beachtet |
| Variation mit Wiederholung | \(n^k\) | \(k\) aus \(n\) | wird beachtet |
| Kombination ohne Wiederholung | \({n \choose k}\) | \(k\) aus \(n\) | wird nicht beachtet |
| Kombination mit Wiederholung | \({n+k-1 \choose k}\) | \(k\) aus \(n\) | wird nicht beachtet |
Sind die Objekte untereinander unterscheidbar, so spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "ohne Wiederholung" (derselben Objekte). Falls die Objekte jedoch nicht unterscheidbar sind, spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "mit Wiederholung". Im Urnenmodell sagt man statt "ohne Wiederholung" einfach "ohne Zurücklegen" und zu "mit Wiederholung" entsprechend "mit Zurücklegen".
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider