Produktzeichen
In diesem Kapitel lernen wir das Produktzeichen kennen.
Das Produktzeichen \(\prod\) dient zur vereinfachten Darstellung von Produkten.
[Das Zeichen \(\prod\) ist das große Pi aus dem griechischen Alphabet.]
\[\prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n\]
(gesprochen: Produkt über \(a_k\) von \(k = 1\) bis \(k = n\))
Bestandteile der Produktschreibweise
- \(k\) heißt Laufvariable oder Laufindex
- \(1\) heißt Startwert oder untere Grenze
- \(n\) heißt Endwert oder obere Grenze
- \(a_k\) ist die Funktion bezüglich der Laufvariable
Bezeichnung der Laufvariablen
Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.
\[\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{i=1}^{n} a_i = \prod_{j=1}^{n} a_j\]
Berechnung des Produkts
Man erhält alle Faktoren des Produkts, indem man in \(a_k\) für die Variable \(k\) zunächst \(1\) (= Startwert), dann \(2\) usw. und schließlich \(n\) (= Endwert) einsetzt.
Anwendung des Produktzeichens
Im Folgenden schauen wir uns anhand von drei Beispielen an, wie man Produkte mit Hilfe des Produktzeichens berechnet.
Beispiel 1
Berechne folgendes Produkt
\[\prod_{k=1}^{5} k^2\]
Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:
- Laufvariable: \(k\)
- Startwert: \(1\)
- Endwert: \(5\)
- Funktion: \(a(k) = k^2\)
- \(k\) kann folgende Werte annehmen:
> \(k = 1\) (Startwert)
> \(k = 2\)
> \(k = 3\)
> \(k = 4\)
> \(k = 5\) (Endwert)
Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(k) = k^2\)
für alle Werte von \(k\) vom Startwert bis zum Endwert.
| \(a(k) = k^2\) | |
| 1.) Setze \(k = 1\) | \(a(1) = 1^2 = 1\) |
| 2.) Setze \(k = 2\) | \(a(2) = 2^2 = 4\) |
| 3.) Setze \(k = 3\) | \(a(3) = 3^2 = 9\) |
| 4.) Setze \(k = 4\) | \(a(4) = 4^2 = 16\) |
| 5.) Setze \(k = 5\) | \(a(5) = 5^2 = 25\) |
Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.
\[\begin{align*}
\prod_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 \cdot {\color{maroon}2}^2 \cdot {\color{maroon}3}^2 \cdot {\color{maroon}4}^2 \cdot {\color{red}5}^2\\
&= 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25\\
&= 14400
\end{align*}\]
Beispiel 2
Berechne folgendes Produkt
\[\prod_{i=5}^{8} 3i\]
Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:
- Laufvariable: \(i\)
- Startwert: \(5\)
- Endwert: \(8\)
- Funktion: \(a(i) = 3i\)
- \(i\) kann folgende Werte annehmen:
> \(i = 5\) (Startwert)
> \(i = 6\)
> \(i = 7\)
> \(i = 8\) (Endwert)
Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(i) = 3i\)
für alle Werte von \(i\) vom Startwert bis zum Endwert.
| \(a(i) = 3i\) | |
| 1.) Setze \(i = 5\) | \(a(5) = 3 \cdot 5 = 15\) |
| 2.) Setze \(i = 6\) | \(a(6) = 3 \cdot 6 = 18\) |
| 3.) Setze \(i = 7\) | \(a(7) = 3 \cdot 7 = 21\) |
| 4.) Setze \(i = 8\) | \(a(8) = 3 \cdot 8 = 24\) |
Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.
\[\begin{align*}
\prod_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= (3 \cdot {\color{red}5}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}6}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}7}) \cdot (3 \cdot {\color{red}8})\\
&= 15 \cdot 18 \cdot 21\cdot 24\\
&= 136080
\end{align*}\]
Beispiel 3
Berechne folgendes Produkt
\[\prod_{j=1}^{4} (2j-1)\]
Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:
- Laufvariable: \(j\)
- Startwert: \(1\)
- Endwert: \(4\)
- Funktion: \(a(j) = 2j-1\)
- \(j\) kann folgende Werte annehmen:
> \(j = 1\) (Startwert)
> \(j = 2\)
> \(j = 3\)
> \(j = 4\) (Endwert)
Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(j) = 2j-1\)
für alle Werte von \(j\) vom Startwert bis zum Endwert.
| \(a(j) = 2j - 1\) | |
| 1.) Setze \(j = 1\) | \(a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\) |
| 2.) Setze \(j = 2\) | \(a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3\) |
| 3.) Setze \(j = 3\) | \(a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\) |
| 4.) Setze \(j = 4\) | \(a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7\) |
Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.
\[\begin{align*}
\prod_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{red}4} - 1)\\
&= 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\\
&= 105
\end{align*}\]
Rechenregeln
im Zusammenhang mit dem Produktzeichen
In der folgenden Übersicht findest du einige wichtige Rechenregeln.
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1. Vorziehen konstanter Faktoren \[\prod_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c^n \cdot \prod_{k=1}^{n} a_k\] |
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2. Aufspalten eines Produkts \[\prod_{k=1}^{n} a_k = \left(\prod_{k=1}^{m} a_k\right) \left(\prod_{k=m+1}^{n} a_k\right) \quad (1 < m < n)\] |
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3. Produkt von Produkten \[\prod_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \cdot c_k \ldots = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} b_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} c_k\right) \ldots\] |
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4. Umnummerierung \[\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1}, \quad \prod_{k=m}^{n} a_k = \prod_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l}\] |
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5. Vertauschen der Multiplikationsfolge bei Doppelprodukten \[\prod_{i=1}^{n}\prod_{k=1}^{m} a_{ik} = \prod_{k=1}^{m}\prod_{i=1}^{n} a_{ik}\] |
Besondere Produkte
| Beispiele | |
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Fall: \(m = n\) Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht das Produkt aus einem einzigen Faktor \(a_n\). \[\prod_{k=n}^{n} a_k = a_n\] |
\[\prod_{k=2}^{2} a_k = a_2\] \[\prod_{k=5}^{5} k = 5\] \[\prod_{k=7}^{7} 2k = 2 \cdot 7 = 14\] |
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Fall: \(m > n\) Ist der Startwert größer als der Endwert, ist das Produkt leer. \[\prod_{k=m}^{n} a_k = 1\] Begründung: \(1\) ist das "neutrale Element" der Multiplikation. |
\[\prod_{k=2}^{1} a_k = 1\] \[\prod_{k=4}^{3} 3k = 1\] \[\prod_{k=6}^{2} 9 = 1\] |
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Wenn in dem Produkt eine Konstante steht - also ein Wert, der von der Laufvariablen unabhängig ist -, kann das Produkt zu einer einfachen Potenz umgeschrieben werden. \[\prod_{k=m}^{n} c = c^{n - m + 1}\] |
\[\prod_{k=3}^{8} 4 = 4^{8 - 3 + 1} = 4^6\] \[\prod_{k=8}^{9} 3 = 3^{9 - 8 + 1}= 3^2\] |
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Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen, \[\prod_{k=1}^{n} c = c^n\] |
\[\prod_{k=1}^{5} 6 = 6^5\] \[\prod_{k=1}^{4} 8 = 8^4\] |
Mit dem Produktzeichen haben wir eine Möglichkeit kennengelernt, Produkte vereinfacht darzustellen. Bei größeren Produkten kannst du dir auf diese Weise eine Menge Schreibarbeit sparen. Auch Summen lassen sich vereinfacht darstellen (> Summenzeichen).
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