Produktzeichen

In diesem Kapitel lernen wir das Produktzeichen kennen.

Das Produktzeichen \(\prod\) dient zur vereinfachten Darstellung von Produkten.
[Das Zeichen \(\prod\) ist das große Pi aus dem griechischen Alphabet.]

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n\]

(gesprochen: Produkt über \(a_k\) von \(k = 1\) bis \(k = n\))

Bestandteile der Produktschreibweise

  • \(k\) heißt Laufvariable oder Laufindex
  • \(1\) heißt Startwert oder untere Grenze
  • \(n\) heißt Endwert oder obere Grenze
  • \(a_k\) ist die Funktion bezüglich der Laufvariable

Bezeichnung der Laufvariablen

Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{i=1}^{n} a_i = \prod_{j=1}^{n} a_j\]

Berechnung des Produkts

Man erhält alle Faktoren des Produkts, indem man in \(a_k\) für die Variable \(k\) zunächst \(1\) (= Startwert), dann \(2\) usw. und schließlich \(n\) (= Endwert) einsetzt.

Anwendung des Produktzeichens

Im Folgenden schauen wir uns anhand von drei Beispielen an, wie man Produkte mit Hilfe des Produktzeichens berechnet.

Beispiel 1

Berechne folgendes Produkt

\[\prod_{k=1}^{5} k^2\]

Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(k\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(5\)
  • Funktion: \(a(k) = k^2\)
  • \(k\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(k = 1\) (Startwert)
    > \(k = 2\)
    > \(k = 3\)
    > \(k = 4\)
    > \(k = 5\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(k) = k^2\)
für alle Werte von \(k\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(k) = k^2\)
1.) Setze \(k = 1\) \(a(1) = 1^2 = 1\)
2.) Setze \(k = 2\) \(a(2) = 2^2 = 4\)
3.) Setze \(k = 3\) \(a(3) = 3^2 = 9\)
4.) Setze \(k = 4\) \(a(4) = 4^2 = 16\)
5.) Setze \(k = 5\) \(a(5) = 5^2 = 25\)

Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.

\[\begin{align*}
\prod_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 \cdot {\color{maroon}2}^2 \cdot {\color{maroon}3}^2 \cdot {\color{maroon}4}^2 \cdot {\color{red}5}^2\\
&= 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25\\
&= 14400
\end{align*}\]

Beispiel 2

Berechne folgendes Produkt

\[\prod_{i=5}^{8} 3i\]

Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(i\)
  • Startwert: \(5\)
  • Endwert: \(8\)
  • Funktion: \(a(i) = 3i\)
  • \(i\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(i = 5\) (Startwert)
    > \(i = 6\)
    > \(i = 7\)
    > \(i = 8\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(i) = 3i\)
für alle Werte von \(i\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(i) = 3i\)
1.) Setze \(i = 5\) \(a(5) = 3 \cdot 5 = 15\)
2.) Setze \(i = 6\) \(a(6) = 3 \cdot 6 = 18\)
3.) Setze \(i = 7\) \(a(7) = 3 \cdot 7 = 21\)
4.) Setze \(i = 8\) \(a(8) = 3 \cdot 8 = 24\)

Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.

\[\begin{align*}
\prod_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= (3 \cdot {\color{red}5}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}6}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}7}) \cdot (3 \cdot {\color{red}8})\\
&= 15 \cdot 18 \cdot 21\cdot 24\\
&= 136080
\end{align*}\]

Beispiel 3

Berechne folgendes Produkt

\[\prod_{j=1}^{4} (2j-1)\]

Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(j\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(4\)
  • Funktion: \(a(j) = 2j-1\)
  • \(j\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(j = 1\) (Startwert)
    > \(j = 2\)
    > \(j = 3\)
    > \(j = 4\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(j) = 2j-1\)
für alle Werte von \(j\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(j) = 3j\)
1.) Setze \(j = 1\) \(a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\)
2.) Setze \(j = 2\) \(a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3\)
3.) Setze \(j = 3\) \(a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\)
4.) Setze \(j = 4\) \(a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7\)

Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.

\[\begin{align*}
\prod_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{red}4} - 1)\\
&= 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\\
&= 105
\end{align*}\]

Rechenregeln
im Zusammenhang mit dem Produktzeichen

In der folgenden Übersicht findest du einige wichtige Rechenregeln.

1. Vorziehen konstanter Faktoren

\[\prod_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c^n \cdot \prod_{k=1}^{n} a_k\]

2. Aufspalten eines Produkts

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = \left(\prod_{k=1}^{m} a_k\right) \left(\prod_{k=m+1}^{n} a_k\right) \quad (1 < m < n)\]

3. Produkt von Produkten

\[\prod_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \cdot c_k \ldots = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} b_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} c_k\right) \ldots\]

4. Umnummerierung

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1}, \quad \prod_{k=m}^{n} a_k = \prod_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l}\]

5. Vertauschen der Multiplikationsfolge bei Doppelprodukten

\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{k=1}^{m} a_{ik} = \prod_{k=1}^{m}\prod_{i=1}^{n} a_{ik}\]

Besondere Produkte

  Beispiele

Fall: \(m = n\)

Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht das Produkt aus einem einzigen Faktor \(a_n\).

\[\prod_{k=n}^{n} a_k = a_n\]

\[\prod_{k=2}^{2} a_k = a_2\]

\[\prod_{k=5}^{5} k = 5\]

\[\prod_{k=7}^{7} 2k = 2 \cdot 7 = 14\]

Fall: \(m > n\)

Ist der Startwert größer als der Endwert, ist das Produkt leer.
Ein leeres Produkt wird als 1 definiert.

\[\prod_{k=m}^{n} a_k = 1\]

Begründung: \(1\) ist das "neutrale Element" der Multiplikation.

\[\prod_{k=2}^{1} a_k = 1\]

\[\prod_{k=4}^{3} 3k = 1\]

\[\prod_{k=6}^{2} 9 = 1\]

Wenn in dem Produkt eine Konstante steht - also ein Wert, der von der Laufvariablen unabhängig ist -, kann das Produkt zu einer einfachen Potenz umgeschrieben werden.

\[\prod_{k=m}^{n} c = c^{n - m + 1}\]

\[\prod_{k=3}^{8} 4 = 4^{8 - 3 + 1} = 4^6\]

\[\prod_{k=8}^{9} 3 = 3^{9 - 8 + 1}= 3^2\]

Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen,
wenn der Startwert 1 ist.

\[\prod_{k=1}^{n} c = c^n\]

\[\prod_{k=1}^{5} 6 = 6^5\]

\[\prod_{k=1}^{4} 8 = 8^4\]

Mit dem Produktzeichen haben wir eine Möglichkeit kennengelernt, Produkte vereinfacht darzustellen. Bei größeren Produkten kannst du dir auf diese Weise eine Menge Schreibarbeit sparen. Auch Summen lassen sich vereinfacht darstellen (> Summenzeichen).

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

JETZT NEU! Löse eine Matheaufgabe und gewinne einen 25 € Amazon-Gutschein!