Multiplikationssatz

In diesem Kapitel besprechen wir, was der Multiplikationssatz besagt.
[Alternative Bezeichnung: Produktsatz]

Notwendiges Vorwissen

> Bedingte Wahrscheinlichkeit

Problemstellung

Bei einem zweistufigen Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen \(A\) und \(B\) gibt es vier Elementarereignisse, nämlich \(A \cap B\), \(\bar{A} \cap B\), \(A \cap \bar{B}\) und \(\bar{A} \cap \bar{B}\).

Der Multiplikationssatz liefert eine Antwort auf die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Elementarereignisses ist.

Multiplikationssatz - Herleitung

Die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse berechnet man mit Hilfe der 1. Pfadregel.

1. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.

\(P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)\)

\(P(\bar{A} \cap B) = P(B) \cdot P_B(\bar{A})\)

\(P(A \cap \bar{B}) = P(\bar{B}) \cdot P_{\bar{B}}(A)\)

\(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{B}) \cdot P_{\bar{B}}(\bar{A})\)

Zusammenfassung

\(P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)\)

\(P(\bar{A} \cap B) = P(B) \cdot P_B(\bar{A})\)

\(P(A \cap \bar{B}) = P(\bar{B}) \cdot P_{\bar{B}}(A)\)

\(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{B}) \cdot P_{\bar{B}}(\bar{A})\)

In Mathematikbüchern wird der Multiplikationssatz meist einfach so aufgeschrieben:

Multiplikationssatz für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\)

\(P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)\)

Multiplikationssatz - Beispiele

a) Bürgermeisterwahl

Eine Gemeinde wird zur Bürgermeisterwahl in zwei Wahlbezirke (\(B_1\) und \(B_2\)) eingeteilt.
60% der Wähler kommen aus \(B_1\), 40% aus \(B_2\).
In \(B_1\) erhält der Kandidat Albrecht 30% der Stimmen, in \(B_2\) dagegen 80%.

Wir treffen einen Wähler auf der Straße und fragen ihn nach seinem Bezirk und seiner Wahl.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wähler aus \(B_2\) kommt und Albrecht gewählt hat?

Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.


\(P(A \cap B_2) = P(B_2) \cdot P_{B_2}(A)\)
\(\phantom{P(A \cap B_2)} = 0,4 \cdot 0,8 = 0,32\)

Antwort:
Zu 32% kommt der Wähler aus \(B_2\) und hat den Kandidaten Albrecht gewählt.

b) Urnenmodell

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln schwarz sind?

Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.

1. Ziehung

Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einer schwarze Kugel zu ziehen, genau \(\frac{4}{9}\).

Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach \(\frac{5}{9}\).

2. Ziehung unter der Bedingung, dass
man bereits eine schwarze Kugel hat


Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne:
3 schwarze und 5 weiße.

2. Ziehung unter der Bedingung, dass
man bereits eine weiße Kugel hat


Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne:
4 schwarze und 4 weiße.

Mit Hilfe des Baumdiagramms können wir die Beispielaufgabe sehr einfach lösen.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide gezogenen Kugeln schwarz sind.

Laut dem Multiplikationssatz gilt:
\(P(\{SS\}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{6} \approx 16,67\%\)

Antwort:
Zu 16,67% sind bei zwei Ziehungen aus einer Urne mit 4 schwarzen und 5 weißen Kugeln beide Kugeln schwarz.

Der Multiplikationssatz verrät uns, wie man in einem mehrstufigen Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen berechnet. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Ast einem Elementarereignis. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der 1. Pfadregel.

Mehr zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Aus der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich eine Vielzahl interessanter Sätze:

  Was ist gesucht? Beispiel
Multiplikationssatz Elementarereignis \(P(A \cap B)\)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Ereignis \(P(A)\)
Satz von Bayes Umgekehrte Schlussfolgerung \(P_A(B) \rightarrow P_B(A)\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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