Bruchgleichungen lösen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Bruchgleichungen löst.

Um dieses Thema zu begreifen, solltest du bereits wissen, was eine Gleichung ist.

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm, in dem die Variable \(x\) im Nenner vorkommt.

Es lohnt sich, an dieser Stelle noch einmal alles zum Thema Bruchrechnen zu wiederholen:

Vorgehen

Bruchgleichungen lassen sich wie lineare Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen.

Im Unterschied zu linearen Gleichungen muss man bei Bruchgleichungen zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen. Dies liegt daran, dass man nicht durch Null teilen darf. Folglich darf der Nenner eines Bruchs niemals Null werden.

Merke: Eine Division durch Null ist nicht erlaubt!

Bruchgleichungen lösen bedeutet...

  1. Definitionsmenge bestimmen
  2. Gleichung nach \(x\) auflösen
  3. Prüfen, ob das Ergebnis in der Definitionsmenge enthalten ist

Beispiel

Gegeben ist die Bruchgleichung

\[\frac{1}{2x}=0,5\]

1.) Definitionsmenge bestimmen

Wann wird der Nenner des Bruchs gleich Null?

Ansatz: \(2x = 0 \quad \rightarrow x = 0\)

Antwort: Der Nenner wird für \(x = 0\) gleich Null.

Die Definitionsmenge entspricht folglich den reellen Zahlen ohne der Null:
\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{0\}\)

2.) Gleichung nach \(x\) auflösen

Jetzt ist es an der Zeit die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach \(x\) aufzulösen.

Zunächst wollen wir den Bruch loswerden. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruchs.

\[\frac{1}{2x}=0,5 \qquad | \cdot 2x\]

\[\frac{1}{2x} \cdot 2x =0,5 \cdot 2x\]

Kürzen

\[\frac{1}{\cancel{2x}} \cdot \cancel{2x} =0,5 \cdot 2x\]

\[1 = 0,5 \cdot 2x\]

An dieser Stelle wollen wir festhalten:

Einen Bruch beseitigt man, indem man die Gleichung mit dem Nenner multipliziert.

Es liegt nur noch eine lineare Gleichung vor. Diese nach \(x\) aufzulösen, sollte keine Schwierigkeiten bereiten.

\[1 = 0,5 \cdot 2x \qquad | :0,5\]

\[\frac{1}{0,5} = \frac{0,5 \cdot 2x}{0,5}\]

\[2 = \frac{\cancel{0,5} \cdot 2x}{\cancel{0,5}}\]

\[2 = 2x \qquad |:2\]

\(1 = x\) bzw. \(x = 1\)

3.) Prüfen, ob das Ergebnis in der Definitionsmenge enthalten ist

Da das Ergebnis \(x = 1\) in der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{0\}\) liegt, haben wir eine gültige Lösung berechnet.

Die Lösungsmenge lässt sich noch mathematisch formulieren:
\(\mathbb{L} = \{1\}\)

Betrachtung besonderer Lösungen

Bei der Berechnung von Bruchgleichungen können besondere Lösungen auftreten.

a) Keine Lösung

Wenn wir es beispielsweise mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{-1,2\}\) zu tun haben und für als Ergebnis \(x = 2\) berechnen, so ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung gleich der leeren Menge (\(\mathbb{L} = \{\}\)), da sich das berechnete Ergebnis \(x = 2\) nicht in der Definitionsmenge befindet. Man sagt auch, die Lösung ist nicht definiert.

b) Unendlich viele Lösungen

Wenn du beim Rechnen an einen Punkt kommst, wo auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen derselbe Term steht, ist die Gleichung für alle \(x\) der Definitionsmenge erfüllt.

Wenn du zum Beispiel auf

\(x + 1 = x + 1\)

stößt, kannst du mit dem Rechnen aufhören und die Lösungsmenge notieren:
\(\mathbb{L} = \mathbb{D}\)

Bruchgleichungen mit mehreren Brüchen

Sind mehrere Brüche vorhanden, so muss man diese auf ihren Hauptnenner bringen. Danach multipliziert man die Gleichung mit dem Hauptnenner, um den Bruch zu beseitigen.

Beispiel

\[\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}\]

Brüche auf eine Seite bringen

\[\frac{1}{{\colorbox{yellow}{\(x\)}}} - \frac{2}{{\colorbox{orange}{\(x+1\)}}} = 0\]

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen: Dazu multiplizieren wir den Zähler und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs bzw. den Zähler und den Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs.

\[\frac{1}{{\colorbox{yellow}{\(x\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(x+1\)}}}{{\colorbox{orange}{\(x+1\)}}} - \frac{2}{{\colorbox{orange}{\(x+1\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{yellow}{\(x\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(x\)}}} = 0\]

\[\frac{x+1}{x(x+1)}  - \frac{2x}{x(x+1)}= 0\]

\[\frac{(x+1) - 2x}{x(x+1)} = 0\]

Wenn du diesen Schritt nicht verstanden hast, lies dir den Artikel Brüche gleichnamig machen durch. Dort wird ausführlich erklärt, wie man Brüche auf einen Nenner bringt.

Weiter geht's...

\[\frac{-x + 1}{x(x+1)} = 0\]

Mit dem Hauptnenner multiplizieren, um den Bruch zu beseitigen

\[\frac{-x + 1}{x(x+1)} \cdot x(x+1) = 0 \cdot x(x+1)\]

\[\frac{-x + 1}{\cancel{x(x+1)}} \cdot \cancel{x(x+1)} = 0\]

\(-x + 1 = 0\)

Nach \(x\) auflösen

\(-x + 1 = 0 \qquad |+x\)

\(1 = x\) bzw. \(x = 1\)

Trick: Kehrwertbildung

In einigen Fällen kann das Lösen der Bruchgleichung vereinfacht werden, indem man die Kehrwerte der beteiligen Brüche bildet. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man durch Vertauschen des Zählers und des Nenners.

Dieses Vorgehen bietet sich vor allem dann an, wenn die Zähler der Brüche nur aus Zahlen bestehen.

Beispiel

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(1\)}}}{{\colorbox{orange}{\(x\)}}} = \frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(x+1\)}}}\]

Kehrwerte bilden

\[\frac{{\colorbox{orange}{\(x\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(1\)}}} = \frac{{\colorbox{orange}{\(x+1\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}\]

Umschreiben

\(x = 0,5x + 0,5\)

Nach \(x\) auflösen

\(0,5x = 0,5 \qquad |\cdot 2\)

\(x = 1\)

Trick: Multiplikation über Kreuz

Eine weitere Möglichkeit, das Lösen der Bruchgleichung zu vereinfachen, ist die kreuzweise Multiplikation.

Dabei wird der Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs multipliziert und der Nenner des zweiten mit dem Zähler des ersten.

Dieses Vorgehen bietet sich nur dann an, wenn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen lediglich ein Bruch vorhanden ist.

Beispiel

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(1\)}}}{{\colorbox{orange}{\(x\)}}} = \frac{{\colorbox{orange}{\(2\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(x+1\)}}}\]

Multiplikation über Kreuz

\({\colorbox{yellow}{\(1\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(x+1\)}} = {\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{orange}{\(x\)}}\)

\(x+1 = 2x \qquad | -x\)

\(1 = x\) bzw. \(x = 1\)

Fazit

Normalweise löst man Bruchgleichungen mit mehreren Brüchen, indem man alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (= Hauptnenner) bringt. Anschließend multipliziert man die Gleichung mit dem Hauptnenner, damit der Bruch wegfällt und eine lineare Gleichung übrig bleibt. Diese muss man dann nur noch nach \(x\) auflösen, um das Ergebnis zu erhalten.

In einigen Fällen kann man die Berechnung einer Bruchgleichung mit mehreren Brüchen verkürzen. Dies geschieht entweder durch Kehrwertbildung oder durch Multiplikation über Kreuz.

Im Zusammenhang mit dem Lösen von Bruchgleichungen ist es wichtig, die Definitionsmenge zu bestimmen, da eine Division durch Null nicht erlaubt ist. Infolgedessen muss man am Ende überprüfen, ob das berechnete Ergebnis in der Definitionsmenge enthalten ist.

Zu guter Letzt darfst du nicht vergessen, die Lösungsmenge mathematisch korrekt aufzuschreiben!

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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