Lineare Gleichungen lösen

In diesem Artikel besprechen wir, wie man lineare Gleichungen berechnet. Bevor wir uns anschauen, wie das funktioniert, fragen wir uns, was man überhaupt unter linearen Gleichungen versteht.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der ersten Potenz vor.

Jede lineare Gleichung lässt sich durch äquivalente Umformungen in die folgende Gleichung überführen

\(ax + b = 0\)

Beispiele für lineare Gleichungen

\(7x - 5 = 0\)

\(2x = 3 - 8x\)

\(4 (x-1) = 3x+5\)

Exkurs: Äquivalenzumformungen

Die Preisfrage lautet nun: "Wie kann man lineare Gleichungen lösen?"

Die Antwort auf diese Frage ist einfach: "Mit Hilfe äquivalenter Umformungen."

Äquivalenzumformungen dienen dazu, eine gegebene Gleichung in eine Gleichung zu überführen, die die gleiche Lösungsmenge wie die Ausgangsgleichung besitzt, aber einfacher zu lösen ist.

Eine Gleichung kannst du dir wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen.

Was bedeutet dann die Gleichung  \(10 = 10\)?

In der linken Waagschale (links vom Gleichheitszeichen) befinden sich zehn 1kg Stücke und in der rechten Waagschale (rechts vom Gleichheitszeichen) befinden sich ebenfalls zehn 1kg Stücke.

...und was ist mit der Gleichung \(x + 5 = 10\)?

Bei \(x\) handelt es sich um eine Unbekannte. Uns interessiert, wie groß das \(x\) sein muss, damit sich beide Waagschalen im Gleichgewicht befinden. Wie könnten wir das anstellen? Mathematisch formuliert wollen wir "die Gleichung nach \(x\) auflösen." Dazu nehmen wir von der linken Waagschale so viele Gewichtsstücke weg, dass sich dort nur noch unsere Unbekannte \(x\) befindet. Damit die Waage nicht aus dem Gleichgewicht gerät (das wollen wir auf keinen Fall!), müssen wir auf der rechten Seite genauso viele Gewichtsstücke wegnehmen wie auf der linken Seite. Das "Wegnehmen von Gewichtsstücken" gehört zu den Äquivalenzumformungen, da zwar die Gleichung umgeformt, nicht jedoch die Lösung verändert wird. Insgesamt gibt es vier Äquivalenzformungen (= Möglichkeiten die Gewichte auf beiden Seiten der Waage zu verändern, ohne das sich die Lösung ändert, d.h. ohne das die Waage aus dem Gleichgewicht gerät).

Im Folgenden werden die vier äquivalenten Umformungen erläutert.

  • Addition einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung

    Beispiel
    \(\begin{align*}
    x - 5 &= 10 \qquad \quad|+5 \\
    x &= 10 + 5 \\
    x &= 15
    \end{align*}\)

  • Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung

    Beispiel
    \(\begin{align*}
    x + 3 &= 8 \qquad \quad|-3 \\
    x &= 8 - 3 \\
    x &= 5
    \end{align*}\)

  • Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl (\(a \neq 0\))

    Beispiel
    \(\begin{align*}
    \frac{x}{7} &= 2 \qquad \quad|\cdot 7 \\
    x &= 2 \cdot 7 \\
    x &= 14
    \end{align*}\)

  • Division beider Seiten einer Gleichung durch die gleiche Zahl (\(a \neq 0\))

    Beispiel
    \(\begin{align*}
    4 \cdot x &= 12 \qquad \quad|:4 \\
    x &= \frac{12}{4} \\
    x &= 3
    \end{align*}\)

Praxistipp: Achte stets darauf, dass du auf beiden Seiten der Gleichung (d.h. sowohl links als auch rechts vom Gleichheitszeichen) dieselbe Rechenoperation durchführst!

Lösen linearer Gleichungen - Beispiel

Gegeben ist folgende lineare Gleichung

\(2 (2x - 1) = 3 (x + 1)\)

1.) Ausmultiplizieren

\(4x - 2 = 3x + 3\)

2.) Gleichung mit Hilfe äquivalenter Umformungen nach x auflösen

Ziehe 3x ab, um alle x auf die linke Seite zu bringen:

\(x - 2 = 3\)

Addiere 2, um die konstanten Zahlen auf die rechte Seite zu bringen:

\(x = 5\)

Interpretation des Ergebnisses

Als Ergebnis haben wir \(x = 5\) berechnet. Doch was bedeutet das eigentlich?

Wenn wir in unsere ursprüngliche Gleichung

\(2 (2x - 1) = 3 (x + 1)\)

\(x = 5\) einsetzen, so erhalten wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl.

\(2 (2 \cdot 5 - 1) = 3 (5 + 1)\)

\(18 = 18\)

Es ergibt sich also eine wahre Aussage. Die (lineare) Gleichung ist folglich richtig gelöst.

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!