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Kurvendiskussion - Logarithmus­funktion

In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer Logarithmusfunktion durch.

Gegeben sei die Logarithmusfunktion

$$ f(x) = x \cdot \ln x $$

Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen.

Ableitungen 

Hauptkapitel: Ableitung

Wir berechnen zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen.

Für unser Beispiel brauchen wir die

Produktregel

$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)} $$

Es lohnt sich, zunächst das Kapitel Ableitung Logarithmus zu lesen.

Gegebene Funktion

$$ f(x) = x \cdot \ln x $$

1. Ableitung

$$ \begin{align*} f'(x) &= {\color{red}1} \cdot \ln x + x \cdot {\color{red}\frac{1}{x}} \\[5px] &= \ln x + 1 \end{align*} $$

2. Ableitung

$$ f''(x) = \frac{1}{x} $$

Definitionsbereich 

Hauptkapitel: Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:
Welche $x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?

Logarithmusfunktionen sind nur in $\mathbb{R}^{+}$ definiert.

Für unsere Aufgabe gilt also: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}$.

Nullstellen 

Hauptkapitel: Nullstellen berechnen

1) Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ x \cdot \ln x = 0 $$

2) Gleichung lösen

Der Satz vom Nullprodukt besagt:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

1. Faktor

$$ x = 0 $$

Da $x = 0$ nicht zur Definitionsmenge gehört, handelt es sich hierbei nicht um eine Nullstelle.

2. Faktor

$$ \ln x = 0 $$

Die Logarithmusfunktion hat bei $x = 1$ eine Nullstelle.

$\Rightarrow$ Die einzige Nullstelle der Funktion ist $x_1 = 1$.

y-Achsenabschnitt 

Hauptkapitel: $y$-Achsenabschnitt berechnen

Der $y$-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$.

Wir berechnen also $f(0)$:

$$ f({\color{red}0}) = {\color{red}0} \cdot \ln ({\color{red}0}) $$

Vorsicht!

Die Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}$.

Aus diesem Grund gibt es keinen $y$-Achsenabschnitt!

Grenzwerte 

Hauptkapitel: Grenzwerte

Verhalten im Unendlichen

Für sehr große Werte strebt die Funktion gegen + unendlich:

$$ \lim_{x\to \infty}\left(x \cdot \ln x\right) = \infty $$

Bei Annäherung an den Rand der Definitionsmenge strebt die Funktion gegen Null:

$$ \lim_{x\to 0} \left(x \cdot \ln x\right) = 0 $$

Symmetrie 

Hauptkapitel: Symmetrieverhalten

Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse

$$ f(-x) = f(x) $$

Punktsymmetrie zum Ursprung

$$ f(-x) = -f(x) $$

Wir setzen $-x$ in die Funktion

$$ f(x) = x \cdot \ln x $$

ein und erhalten:

$$ f({\color{red}-x}) = {\color{red}-x} \cdot \ln ({\color{red}-x}) $$

Danach analysieren wir das Ergebnis:

$$ -x \cdot \ln (-x) \neq f(x) $$

$$ -x \cdot \ln (-x) \neq -f(x) $$

$\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

Extrempunkte 

Hauptkapitel: Extremwerte berechnen

Für einen Hochpunkt gilt:
$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$

Für einen Tiefpunkt gilt:
$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$

1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

1.1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

$$ \ln x + 1 = 0 $$

1.2) Gleichung lösen

$$ \begin{align*} \ln x + 1 &= 0 &&|\, -1 \\[5px] \ln x &= -1 \end{align*} $$

Möchte man eine Logarithmusfunktion nach $x$ auflösen, muss man wissen, dass gilt

$$ \ln x = a \qquad \rightarrow \qquad x = e^{a} $$

Für unsere Aufgabe bedeutet das

$$ \ln x = -1 \qquad \rightarrow \qquad x = e^{-1} = \frac{1}{e} $$

Die Nullstelle der 1. Ableitung ist $x_1 = \frac{1}{e}$.

2) Nullstelle der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung

$$ f''(x) = \frac{1}{x} $$

ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:

$$ f''\left({\color{red}\frac{1}{e}}\right) = \frac{1}{{\color{red}\frac{1}{e}}} = e > 0 $$

Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x = \frac{1}{e}$ ein Tiefpunkt ist.

3) $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Extrempunktes berechnen

Zu guter Letzt müssen wir noch den $y$-Wert des Punktes berechnen. Dazu setzen wir $x_1 = \frac{1}{e}$ in die ursprüngliche (!) Funktion

$$ f(x) = x \cdot \ln x $$

ein und erhalten:

$$ \begin{align*} f({\color{red}x_1}) &= f\left( {\color{red}\frac{1}{e}}\right) \\[5px] &= {\color{red}\frac{1}{e}} \cdot \ln \left({\color{red}\frac{1}{e}}\right) \\[5px] &= \frac{1}{e} \cdot \left(\ln 1 - \ln e\right) \qquad \qquad \leftarrow \text{Logarithmusgesetz anwenden!} \\[5px] &= {\color{blue}-\frac{1}{e}} \\[5px] &\approx -0{,}37 \end{align*} $$

Wir halten fest:

Tiefpunkt $T({\color{red}\frac{1}{e}}|{\color{blue}-\frac{1}{e}})$

Monotonieverhalten 

Hauptkapitel: Monotonieverhalten

Die Funktion $f$ ist streng monoton zunehmend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.

Die Funktion $f$ ist streng monoton abnehmend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.

Das Monotonieverhalten lässt sich leicht aus den eben berechneten Extremwerten und den Grenzwertbetrachtungen folgern:

$$ \begin{array}{c|cc} &\left]0;\frac{1}{e}\right[ &\left]\frac{1}{e};\infty\right[\\ \hline f'(x) & - & +\\ & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend} \end{array} $$

  • Im 1. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion bis zum Tiefpunkt fällt.
  • Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt.

Krümmung 

Hauptkapitel: Krümmungsverhalten

Der Graph ist linksgekrümmt, wenn $f''(x) > 0$ gilt.

Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x) < 0$ gilt.

Wann ist die 2. Ableitung größer Null?

$$ \frac{1}{x} > 0 $$

Die Lösung der Bruchungleichung ist

$$ x > 0 $$

$\Rightarrow$ Für $x > 0$ ist der Graph linksgekrümmt.

Anmerkung

Im Bereich $x \leq 0$ ist die Funktion nicht definiert. Der Graph ist also an keiner Stelle rechtsgekrümmt.

Wendepunkt und Wendetangente 

Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente

Für einen Wendepunkt gilt:
$f''(x_0) = 0$ und $f'''(x_0) \neq 0$

1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

1.1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

$$ \frac{1}{x} = 0 $$

1.2) Gleichung lösen

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

Da der Zähler immer $1$ ist und deshalb nie Null werden kann, hat die die 2. Ableitung keine Nullstelle.

Folglich gibt es weder einen Wendepunkt noch eine Wendetangente.

Wertebereich 

Hauptkapitel: Wertebereich bestimmen

Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:
Welche $y$-Werte kann die Funktion annehmen?

Der Wertebereich geht in diesem Fall vom Tiefpunkt ($y$-Wert!) bis + unendlich.

Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: $\mathbb{W}_f = \left[-\frac{1}{e}; +\infty\right[$

Graph 

Hauptkapitel: Graph zeichnen

Wertetabelle

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 & 3 \\ \hline f(x) & -0{,}35 & 0 & 0{,}61 & 1{,}39 & 2{,}29 & 3{,}30 \end{array} $$

Nullstellen

$$ x_1 = 1 $$

Extrempunkte

Tiefpunkt $T(\frac{1}{e} |{-\frac{1}{e}})$

Abb. 1 

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