Kurvendiskussion - Logarithmusfunktion

1. Definitionsbereich

Merke: Der natürliche Logarithmus ist nur für \(D_f = \mathbb{R}^{+}\) definiert.

Da wir also nur positive x-Werte einsetzen dürfen, gilt für diese Aufgabe \(D_f = \mathbb{R}^{+}\)

2. Nullstellen

Nullstellen sind jene \(x\)-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.

Da die Funktion \(f(x) = x \cdot \ln x\) bereits in faktorisierter Form vorliegt,
können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:
\(x \cdot \ln x = 0\)

Der 1. Faktor ist \(x\). Wann wird der 1. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(x = 0\)
Man könnte hier leichtfertig \(x = 0\) als Nullstelle deklarieren.
Dies ist aber falsch, da die Null nicht zur Definitionsmenge gehört!

Der 2. Faktor ist \(\ln x\). Wann wird der 2. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(\ln x = 0\)
Die Logarithmusfunktion hat bei \(x = 1\) eine Nullstelle.

\(\Rightarrow\) Die einzige Nullstelle der Funktion ist \(x_1 = 1\).

3. y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x=0\).

\[f({\color{red}0}) = {\color{red}0} \cdot \ln ({\color{red}0})\]

Vorsicht!

Die Definitionsmenge des natürlichen Logarithmus ist \(D_f = \mathbb{R}^{+}\).

Aus diesem Grund gibt es keinen y-Achsenabschnitt!

4. Verhalten im Unendlichen

Was passiert, wenn wir in unsere Funktion sehr große einsetzen?

Für große Werte strebt die Funktion gegen "+ unendlich".

\[\lim_{x\to \infty}\left(x \cdot \ln x\right) = \infty\]

Wie verhält sich der Graph der Funktion bei Annäherung an die Definitionslücke?

\[\lim_{x\to 0} \left(x \cdot \ln x\right) = 0\]

5. Symmetrie

Im ersten Schritt setzen wir "\(-x\)" in die Funktion

\(f(x) = x \cdot \ln x\)

ein:

\[f({\color{red}-x}) = {\color{red}-x} \cdot \ln ({\color{red}-x})\]

Danach analyisieren wir das Ergebnis. Es gilt:

\(-x \cdot \ln (-x) \neq f(x)\)

\(-x \cdot \ln (-x) \neq -f(x)\)

Fazit

Die Funktion ist weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

6. Extrempunkte

1.) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Um die Extremwerte zu berechnen, müssen wir die 1. Ableitung gleich Null setzen

\(f'(x) = \ln x + 1 = 0\)

\(\ln x + 1 = 0\)

\(\ln x + 1 {\color{red}\: - \: 1} = {\color{red}-1}\)

\[\ln x = -1\]

Möchte man eine Logarithmusfunktion nach \(x\) auflösen, muss man wissen, dass gilt

\(\ln x = a \qquad \rightarrow \qquad x = e^{a}\)

Für unsere Aufgabe bedeutet das

\[\ln x = -1 \qquad \rightarrow \qquad x = e^{-1} = \frac{1}{e}\]

Die Nullstelle der 1. Ableitung ist \(x_1 = \frac{1}{e}\).

2.) Nullstelle der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung

\[f''(x) = \frac{1}{x}\]

ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:

\[f''\left({\color{red}\frac{1}{e}}\right) = \frac{1}{{\color{red}\frac{1}{e}}} = e > 0 \]

Wir wissen jetzt, dass an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein Tiefpunkt ist.

3.) y-Koordinate des Extrempunktes berechnen

Zu guter Letzt müssen wir noch den y-Wert des Punktes berechnen.
Dazu setzen wir \(x_1 = \frac{1}{e}\) in die ursprüngliche (!) Funktion

\[f(x) = x \cdot \ln x\]

ein:

\[\begin{align*}
f({\color{red}x_1}) = f\left( {\color{red}\frac{1}{e}}\right) &= {\color{red}\frac{1}{e}} \cdot \ln \left({\color{red}\frac{1}{e}}\right) \\
&= \frac{1}{e} \cdot \left(\ln 1 - \ln e\right) \qquad \qquad \leftarrow \text{Logarithmusgesetz anwenden!} \\
&= {\color{blue}-\frac{1}{e}} \approx -0,37
\end{align*}\]

Fazit

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten T \(({\color{red}\frac{1}{e}}|{\color{blue}-\frac{1}{e}})\).

7. Monotonieverhalten

Da wir gerade die Extremwerte berechnet haben und auch wissen, wie sich der Graph an der Unendlichkeitsstelle verhält, lässt sich leicht logisch erklären, in welchen Bereichen die Funktion steigt bzw. fällt.

• Im Bereich \[\left]0;\frac{1}{e}\right[\]-> streng monoton fallend, da die Funktion bis zum Tiefpunkt fällt
• Im Bereich \[\left]\frac{1}{e};\infty\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion vom Tiefpunkt an wieder ansteigt

Wer sich das nicht logisch erschließen kann oder die Extremwerte noch nicht berechnet hat, sollte eine Monotonietabelle nach folgendem Schema aufstellen.

• Die Nullstellen der 1. Ableitung und Definitionslücken geben die Bereiche vor, die man untersuchen muss.
  -> der erste Bereich geht von "- unendlich" bis zur ersten Nullstelle der 1. Ableitung
  -> der zweite Bereich geht von der ersten Nullstelle der 1. Ableitung bis "+ unendlich"
• Wähle aus jedem Intervall irgendeinen Wert, setze ihn in die 1. Ableitung ein und notiere das Vorzeichen in der zweiten Reihe.

\[\begin{array}{c|cc}
&\left]0;\frac{1}{e}\right[ &\left]\frac{1}{e};\infty\right[\\
\hline
f'(x) & - & +\\
& \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend}
\end{array}\]

8. Krümmung

Wir müssen uns überlegen, wann die 2. Ableitung größer bzw. kleiner Null wird.

\[f''(x) = \frac{1}{x} > 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{für } x > 0\]

Für \(x > 0 \) ist der Graph linksgekrümmt.

Anmerkung:
Im Bereich \(x \leq 0\) ist die Funktion nicht definiert.
Der Graph ist also an keiner Stelle rechtsgekrümmt.

9. Wendepunkt und Wendetangente

\[\begin{align*}\text{Ansatz: }
f''(x) &= 0\\[5pt]
\frac{1}{x} &= 0
\end{align*}\]

Die 2. Ableitung kann nie Null werden, weshalb es weder einen Wendepunkt und noch eine Wendetangente gibt.

10. Wertebereich

Der Wertebereich geht in diesem Fall vom Tiefpunkt (y-Wert!) bis "+ unendlich".

Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: \(W_f = \left[-\frac{1}{e}; +\infty\right[\)

11. Wertetabelle und Graph

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3  \\
\hline
f(x) & -0,35 & 0 & 0,61 & 1,39 & 2,29 & 3,30
\end{array}\]