Kurvendiskussion - Exponentialfunktion
In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer Exponentialfunktion durch.
Im Zentrum unserer Betrachtung ist die Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
Zu allen betrachteten Fragestellungen gibt es auch einen eigenen Artikel:
- Definitionsbereich bestimmen
- Nullstellen berechnen
- y-Achsenabschnitt berechnen
- Verhalten im Unendlichen
- Asymptoten berechnen
- Symmetrieverhalten
- Extremwerte berechnen
- Monotonieverhalten
- Krümmungsverhalten
- Wendepunkt und Wendetangente
- Wertebereich bestimmen
- Graph zeichnen
Zunächst berechnen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion. Um die Ableitungen einer Exponentialfunktion zu berechnen, brauchen wir meist die Kettenregel. Sie besagt:
\(f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)
Bei unserem Beispiel brauchen wir zusätzlich noch die Produktregel:
\(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)}\)
Es lohnt sich, zunächst den Artikel Ableitung e-Funktion zu lesen.
Gegebene Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
1. Ableitung
Anwendung der Produktregel
\[f'(x) = {\color{red}\left[(x+1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\]
Dabei gilt:
\[{\color{red}\left[(x+1)\right]'} = {\color{red}1}\]
\[{\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!}\]
Endergebnis
\[\begin{align*}
f'(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\
&= e^{-x} -(x+1) \cdot e^{-x} \\
&= e^{-x} -[x \cdot e^{-x} + e^{-x}] \\
&= e^{-x} -x \cdot e^{-x} - e^{-x} \\
&= -x \cdot e^{-x}
\end{align*}\]
2. Ableitung
Anwendung der Produktregel
\[f''(x) = {\color{red}\left[-x\right]'} \cdot e^{-x} - x \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\]
Dabei gilt:
\[{\color{red}\left[-x\right]'} = {\color{red}-1}\]
\[{\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!}\]
Endergebnis
\[\begin{align*}
f''(x) &= {\color{red}-1} \cdot e^{-x} - x \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\
&= -e^{-x} + x \cdot e^{-x} \\
&= e^{-x} (-1 + x)\\
&= (x-1) \cdot e^{-x}
\end{align*}\]
3. Ableitung
Anwendung der Produktregel
\[f'''(x) = {\color{red}\left[(x-1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\]
Dabei gilt:
\[{\color{red}\left[(x-1)\right]'} = {\color{red}1}\]
\[{\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!}\]
Endergebnis
\(\begin{align*}
f'''(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\
&= e^{-x} - (x-1) \cdot e^{-x} \\
&= e^{-x} - [x \cdot e^{-x} - e^{-x}] \\
&= e^{-x} - x \cdot e^{-x} + e^{-x} \\
&= 2e^{-x} - x \cdot e^{-x}
\end{align*}\)
1. Definitionsbereich
Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?"
Merke: Die Exponentialfunktion ist in ganz \(\mathbb{R}\) definiert.
Für unsere Aufgabe gilt also: \(D_f = \mathbb{R}\).
2. Nullstellen
Nullstellen sind jene \(x\)-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.
Ansatz: \(f(x) = 0\)
Da die Funktion \(f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\) bereits in faktorisierter Form vorliegt,
können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:
\((x+1) \cdot e^{-x} = 0\)
Der 1. Faktor ist \((x+1)\). Wann wird der 1. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(x + 1 = 0\)
Nebenrechnung:
\(x + 1 = 0\)
\(x + 1 {\color{red}\: - \: 1} = {\color{red}-1}\)
\(x = -1\)
Der 1. Faktor wird Null, wenn \(x = -1\).
Der 2. Faktor ist \(e^{-x}\). Wann wird der 2. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(e^{-x} = 0\)
Die Exponentialfunktion selbst besitzt keine Nullstelle!
\(\Rightarrow\) Die einzige Nullstelle der Funktion ist \(x_1 = -1\).
3. y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x=0\).
Ansatz: \(f(0)\)
Wir müssen also \(x = 0\) in die Funktion einsetzen.
\[f({\color{red}0}) = ({\color{red}0}+1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = 1\tag{Wichtig: \(e^0 = 1\)}\]
Der y-Achsenabschnitt ist bei \(y = 1\).
4. Verhalten im Unendlichen
Was passiert, wenn wir in unsere Funktion sehr große bzw. sehr kleine Zahlen einsetzen?
Für große Werte strebt die Funktion gegen Null.
\[\lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0\]
Für kleine Werte strebt die Funktion gegen "- unendlich".
\[\lim_{x\to -\infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = -\infty\]
5. Asymptoten
Wegen
\[\lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0\]
ist \(y = 0\) eine waagrechte Asymptote.
6. Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = f(x)\)
Punktssymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
Im ersten Schritt setzen wir "\(-x\)" in die Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
ein:
\[f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x}+1) \cdot e^{-({\color{red}-x})} = (-x+1) \cdot e^{x}\]
Danach analysieren wir das Ergebnis. Es gilt:
\[(-x+1) \cdot e^{x} \neq f(x)\]
\[(-x+1) \cdot e^{x} \neq -f(x)\]
Fazit
Die Funktion ist weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
7. Extrempunkte
Für einen Hochpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) < 0\)
Für einen Tiefpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) > 0\)
1.) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Um die Extremwerte zu berechnen, müssen wir die 1. Ableitung gleich Null setzen
\[f'(x) = -x \cdot e^{-x}= 0\]
Da die Exponentialfunktion selbst keine Nullstelle besitzt, ergibt sich die einzige Nullstelle aus dem Term vor der Exponentialfunktion. Dementsprechend heißt die Nullstelle \(x_1 = 0\).
2.) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung
\(f''(x) = (x-1) \cdot e^{-x}\)
ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:
\[f''({\color{red}x_1}) = f''({\color{red}0}) = ({\color{red}0} - 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = -1 \cdot 1 = -1 < 0\]
Wir wissen jetzt, dass an der Stelle \(x_1\) ein Hochpunkt vorliegt.
3.) y-Koordinate des Extrempunktes berechnen
Zu guter Letzt müssen wir noch den y-Wert des Punktes berechnen.
Dazu setzen wir \(x_1\) in die ursprüngliche (!) Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
ein:
\[f({\color{red}x_1}) = f({\color{red}0}) =({\color{red}0} + 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = 1 \cdot 1 = {\color{blue}1}\]
Fazit
Der Hochpunkt hat die Koordinaten H \(({\color{red}0}|{\color{blue}1})\).
8. Monotonieverhalten
Die Funktion f ist streng monoton zunehmend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt.
Die Funktion f ist streng monoton abnehmend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt.
Da wir gerade die Extremwerte berechnet haben, lässt sich leicht logisch erklären, in welchen Bereichen die Funktion steigt bzw. fällt.
- Im Bereich \[\left]-\infty;0\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion bis zum Hochpunkt steigt
- Im Bereich \[\left]0;\infty\right[\]-> streng monoton fallend, da die Funktion nach dem Hochpunkt gegen Null strebt
Wer sich das nicht logisch erschließen kann oder die Extremwerte noch nicht berechnet hat, sollte eine Monotonietabelle nach folgendem Schema aufstellen.
- Die Nullstellen der 1. Ableitung und Definitionslücken geben die Bereiche vor, die man untersuchen muss.
-> der erste Bereich geht von "- unendlich" bis zur Nullstelle der 1. Ableitung
-> der zweite Bereich ist geht von der Nullstelle der 1. Ableitung bis "+ unendlich" - Wähle aus jedem Intervall irgendeinen Wert, setze ihn in die 1. Ableitung ein und notiere das Vorzeichen in der zweiten Reihe.
\[\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;\infty\right[ \\
\hline
f'(x) & + & -\\
& \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend}
\end{array}\]
9. Krümmung
Der Graph ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt.
Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn \(f''(x) < 0\) gilt.
Wir müssen uns überlegen, wann die 2. Ableitung größer bzw. kleiner Null wird.
\[f''(x) =(x-1) \cdot e^{-x} > 0 \]
Da die Exponentialfunktion immer größer Null ist, reicht es, wenn man den ersten Teil der Gleichung betrachtet:
\(x - 1 > 0\)
\(x - 1 {\color{red}\: + \: 1} > {\color{red}+1}\)
\(x > 1\)
Fazit
Für \(x > 1\) ist der Graph linksgekrümmt - entsprechend ist er für \(x < 1\) rechtsgekrümmt.
10. Wendepunkt und Wendetangente
Am Wendepunkt wechselt der Graph seine Krümmung.
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:
\(f''(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f'''(x_0) \neq 0\)
1.) Nullstelle der 2. Ableitung berechnen
Ansatz: \(f''(x) = (x-1) \cdot e^{-x} = 0\)
Da die Exponential immer größer Null ist, reicht es, wenn man den ersten Teil der Gleichung betrachtet:
\(x - 1 = 0\)
\(x - 1 {\color{red}\: + \: 1} = {\color{red}+1}\)
\(x = 1\)
2.) Überprüfen, ob die 3. Ableitung (für x = 1) ungleich Null ist
Wir setzen \(x = 1\) in die 3. Ableitung
\(f'''(x)= 2e^{-x} - x \cdot e^{-x}\)
ein
\(f'''({\color{red}1}) = 2e^{-{\color{red}1}} - {\color{red}1} \cdot e^{-{\color{red}1}} \neq 0\)
und stellen fest, dass die 3. Ableitung in diesem Fall ungleich Null ist.
Demzufolge liegt hier auch wirklich ein Wendepunkt vor.
3.) y-Koordinate des Wendepunktes berechnen
Jetzt setzen wir \(x = 1\) in die ursprüngliche Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
ein, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen:
\(f({\color{red}1}) = ({\color{red}1}+1) \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{blue}\frac{2}{e}}\)
Fazit
Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(\left({\color{red}1}|{\color{blue}\frac{2}{e}}\right)\).
Die Gleichung der Wendetangente lautet
\(t_w: \quad y = m \cdot (x - x_0) + y_0\)
Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Wendepunktes.
\(m\) ist die Steigung der Tangente.
Da wir \(x_0\) und \(y_0\) eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung \(m\) ermitteln. Dazu setzen wir die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung
\(f'(x) = -x \cdot e^{-x}\)
ein:
\(m = f'({\color{red}1}) = -{\color{red}1} \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{green}-\frac{1}{e}}\)
Setzen wir unsere Ergebnisse in die Gleichung für die Wendetangente ein, so erhalten wir
\(t_w: \quad y ={\color{green}-\frac{1}{e}} \cdot (x - {\color{red}1}) + {\color{blue}\frac{2}{e}} = -\frac{1}{e}x + \frac{3}{e}\)
11. Wertebereich
Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche y-Werte kann die Funktion annehmen?"
Der Wertebereich geht in diesem Fall von "- unendlich" bis zum Hochpunkt (y-Wert!).
Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: \(W_f = \left]-\infty;1\right]\)
12. Wertetabelle und Graph
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
f(x) & -7,38 & -2,24 & 0 & 0,82 & 1 & 0,74 & 0,41 & 0,20 & 0,09
\end{array}\]
Nullstellen
\(x_1 = -1\)
Extrempunkte
Hochpunkt H (0 | 1)
Wendepunkte
W (1 | \(\frac{2}{e}\))
Asymptoten (in rot)
waagrecht: \(y = 0\)
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider