Kurvendiskussion - Exponentialfunktion
In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer Exponentialfunktion durch.
Gegeben sei die Exponentialfunktion
$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$
Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen.
Ableitungen
Hauptkapitel: Ableitung
Wir berechnen zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen.
Um die Ableitungen einer Exponentialfunktion zu berechnen, brauchen wir meist die
Bei unserem Beispiel brauchen wir zusätzlich noch die
$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)} $$
Es lohnt sich, zunächst das Kapitel Ableitung e-Funktion zu lesen.
Gegebene Funktion
$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$
1. Ableitung
Anwendung der Produktregel
$$ f'(x) = {\color{red}\left[(x+1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} $$
Dabei gilt:
$$ {\color{red}\left[(x+1)\right]'} = {\color{red}1} $$
$$ {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!} $$
Endergebnis
$$ \begin{align*} f'(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\[5px] &= e^{-x} -(x+1) \cdot e^{-x} \\[5px] &= e^{-x} -[x \cdot e^{-x} + e^{-x}] \\[5px] &= e^{-x} -x \cdot e^{-x} - e^{-x} \\[5px] &= -x \cdot e^{-x} \end{align*} $$
2. Ableitung
Anwendung der Produktregel
$$ f''(x) = {\color{red}\left[-x\right]'} \cdot e^{-x} + \left(- x \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\right) $$
Dabei gilt:
$$ {\color{red}\left[-x\right]'} = {\color{red}-1} $$
$$ {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!} $$
Endergebnis
$$ \begin{align*} f''(x) &= {\color{red}-1} \cdot e^{-x} - x \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\[5px] &= -e^{-x} + x \cdot e^{-x} \\[5px] &= e^{-x} (-1 + x) \\[5px] &= (x-1) \cdot e^{-x} \end{align*} $$
3. Ableitung
Anwendung der Produktregel
$$ f'''(x) = {\color{red}\left[(x-1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} $$
Dabei gilt:
$$ {\color{red}\left[(x-1)\right]'} = {\color{red}1} $$
$$ {\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!} $$
Endergebnis
$$ \begin{align*} f'''(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\[5px] &= e^{-x} - (x-1) \cdot e^{-x} \\[5px] &= e^{-x} - [x \cdot e^{-x} - e^{-x}] \\[5px] &= e^{-x} - x \cdot e^{-x} + e^{-x} \\[5px] &= 2e^{-x} - x \cdot e^{-x} \\[5px] &= (2 - x) \cdot e^{-x} \end{align*} $$
Definitionsbereich
Hauptkapitel: Definitionsbereich bestimmen
Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?
Exponentialfunktionen sind in ganz $\mathbb{R}$ definiert.
Für unsere Aufgabe gilt also: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.
Nullstellen
Hauptkapitel: Nullstellen berechnen
1) Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ (x+1) \cdot e^{-x} = 0 $$
2) Gleichung lösen
Der Satz vom Nullprodukt besagt:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
1. Faktor
$$ \begin{align*} x+1 = 0 &&|\,-1 \\[5px] x &= -1 \end{align*} $$
2. Faktor
$$ e^{-x} = 0 $$
Die Exponentialfunktion selbst besitzt keine Nullstellen!
$\Rightarrow$ Die einzige Nullstelle der Funktion ist $x_1 = -1$.
y-Achsenabschnitt
Hauptkapitel: $y$-Achsenabschnitt berechnen
Der $y$-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Wir berechnen also $f(0)$:
$$ f({\color{red}0}) = ({\color{red}0}+1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = 1 $$
(Zur Erinnerung: $e^0 = 1$)
Der $y$-Achsenabschnitt ist bei $y = 1$.
Grenzwerte
Hauptkapitel: Grenzwerte
Verhalten im Unendlichen
Für sehr große Werte strebt die Funktion gegen Null:
$$ \lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0 $$
Für sehr kleine Werte strebt die Funktion gegen - unendlich
:
$$ \lim_{x\to -\infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = -\infty $$
Asymptoten
Hauptkapitel: Asymptoten berechnen
Wegen
$$ \lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0 $$
ist $y = 0$ eine waagrechte Asymptote.
Symmetrie
Hauptkapitel: Symmetrieverhalten
Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse
$$ f(-x) = f(x) $$
Punktsymmetrie zum Ursprung
$$ f(-x) = -f(x) $$
Wir setzen $-x$ in die Funktion
$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$
ein und erhalten:
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x}+1) \cdot e^{-({\color{red}-x})} = (-x+1) \cdot e^{x} $$
Danach analysieren wir das Ergebnis:
$$ (-x+1) \cdot e^{x} \neq f(x) $$
$$ (-x+1) \cdot e^{x} \neq -f(x) $$
$\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
Extrempunkte
Hauptkapitel: Extremwerte berechnen
Für einen Hochpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$
Für einen Tiefpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$
1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ -x \cdot e^{-x}= 0 $$
1.2) Gleichung lösen
Der Satz vom Nullprodukt besagt:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
1. Faktor
$$ -x = 0 $$
$$ \Rightarrow x = 0 $$
2. Faktor
$$ e^{-x} = 0 $$
Eine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen.
2) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung
$$ f''(x) = (x-1) \cdot e^{-x} $$
ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:
$$ f''({\color{red}x_1}) = f''({\color{red}0}) = ({\color{red}0} - 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = -1 \cdot 1 = -1 < 0 $$
Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x_1$ ein Hochpunkt vorliegt.
3) $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Extrempunktes berechnen
Zu guter Letzt müssen wir noch den $y$-Wert des Punktes berechnen.
Dazu setzen wir $x_1$ in die ursprüngliche (!) Funktion
$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$
ein und erhalten:
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_1}) &= f({\color{red}0}) \\[5px] &= ({\color{red}0} + 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} \\[5px] &= 1 \cdot 1 \\[5px] &= {\color{blue}1} \end{align*} $$
Wir halten fest:
Hochpunkt $H({\color{red}0}|{\color{blue}1})$
Monotonieverhalten
Hauptkapitel: Monotonieverhalten
Die Funktion $f$ ist streng monoton zunehmend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.
Die Funktion $f$ ist streng monoton abnehmend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.
Das Monotonieverhalten lässt sich leicht aus den eben berechneten Extremwerten und den Grenzwertbetrachtungen folgern:
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;\infty\right[ \\ \hline f'(x) & + & -\\ & \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} \end{array} $$
- Im 1. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion bis zum Hochpunkt steigt.
- Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion nach dem Hochpunkt gegen Null strebt.
Krümmung
Hauptkapitel: Krümmungsverhalten
Der Graph ist linksgekrümmt, wenn $f''(x) > 0$ gilt.
Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x) < 0$ gilt.
Wann ist die 2. Ableitung größer Null?
$$ (x-1) \cdot e^{-x} > 0 $$
$e^{-x}$ ist immer größer Null. Deshalb reicht es in diesem Fall, den Term $(x-1)$ zu betrachten:
$$ \begin{align*} x - 1 &> 0 &&|\, +1 \\[5px] x &> 1 \end{align*} $$
$\Rightarrow$ Für $x > 1$ ist der Graph linksgekrümmt.$\Rightarrow$ Für $x < 1$ ist der Graph rechtsgekrümmt.
Wendepunkt und Wendetangente
Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente
Für einen Wendepunkt gilt:$f''(x_0) = 0$ und $f'''(x_0) \neq 0$
1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ (x-1) \cdot e^{-x} = 0 $$
1.2) Gleichung lösen
Der Satz vom Nullprodukt besagt:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
1. Faktor
$$ \begin{align*} x - 1 &= 0 &&|\, +1 \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$
2. Faktor
$$ e^{-x} = 0 $$
Der 2. Faktor kann nie Null werden.
2) Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
$$ f'''({\color{red}1}) = (2 - {\color{red}1}) \cdot e^{-{\color{red}1}} \neq 0 $$
Daraus folgt, dass an der Stelle $x = 1$ ein Wendepunkt vorliegt.
3) $\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Jetzt setzen wir $x = 1$ in die ursprüngliche Funktion
$$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$
ein, um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen:
$$ f({\color{red}1}) = ({\color{red}1}+1) \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{blue}\frac{2}{e}} $$
$\Rightarrow$ Der Wendepunkt hat die Koordinaten $\left({\color{red}1}|{\color{blue}\frac{2}{e}}\right)$.
Gleichung der Wendetangente
$$ t_w\colon\; y = m \cdot (x - x_0) + y_0 $$
Dabei sind $x_0$ und $y_0$ die Koordinaten des Wendepunktes.
$m$ ist die Steigung der Tangente.
Da wir $x_0$ und $y_0$ eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung $m$ ermitteln. Dazu setzen wir die $x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung
$$ f'(x) = -x \cdot e^{-x} $$
ein und erhalten:
$$ m = f'({\color{red}1}) = -{\color{red}1} \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{green}-\frac{1}{e}} $$
Die Gleichung der Wendetangente ist folglich:
$$ t_w\colon\; y ={\color{green}-\frac{1}{e}} \cdot (x - {\color{red}1}) + {\color{blue}\frac{2}{e}} = -\frac{1}{e}x + \frac{3}{e} $$
Wertebereich
Hauptkapitel: Wertebereich bestimmen
Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$y$-Werte kann die Funktion annehmen?
Der Wertebereich geht in diesem Fall von - unendlich
bis zum Hochpunkt ($y$-Wert!).
Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: $\mathbb{W}_f = \left]-\infty;1\right]$
Graph
Hauptkapitel: Graph zeichnen
Wertetabelle
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & -7{,}38 & -2{,}24 & 0 & 0{,}82 & 1 & 0{,}74 & 0{,}41 & 0{,}20 & 0{,}09 \end{array} $$
