Kurvendiskussion - Exponentialfunktion
In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer Exponentialfunktion durch.
Im Zentrum unserer Betrachtung ist die Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
Zu allen betrachteten Fragestellungen gibt es auch einen eigenen Artikel:
- Definitionsbereich bestimmen
- Nullstellen berechnen
- y-Achsenabschnitt berechnen
- Verhalten im Unendlichen
- Asymptoten berechnen
- Symmetrieverhalten
- Extremwerte berechnen
- Monotonieverhalten
- Krümmungsverhalten
- Wendepunkt und Wendetangente
- Wertebereich bestimmen
- Graph zeichnen
Zunächst berechnen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion. Um die Ableitungen einer Exponentialfunktion zu berechnen, brauchen wir meist die Kettenregel. Sie besagt:
\(f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)
Bei unserem Beispiel brauchen wir zusätzlich noch die Produktregel:
\(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)}\)
Es lohnt sich, zunächst den Artikel Ableitung e-Funktion zu lesen.
Gegebene Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
1. Ableitung
Anwendung der Produktregel
\[f'(x) = {\color{red}\left[(x+1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\]
Dabei gilt:
\[{\color{red}\left[(x+1)\right]'} = {\color{red}1}\]
\[{\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!}\]
Endergebnis
\[\begin{align*}
f'(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\
&= e^{-x} -(x+1) \cdot e^{-x} \\
&= e^{-x} -[x \cdot e^{-x} + e^{-x}] \\
&= e^{-x} -x \cdot e^{-x} - e^{-x} \\
&= -x \cdot e^{-x}
\end{align*}\]
2. Ableitung
Anwendung der Produktregel
\[f''(x) = {\color{red}\left[-x\right]'} \cdot e^{-x} - x \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\]
Dabei gilt:
\[{\color{red}\left[-x\right]'} = {\color{red}-1}\]
\[{\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!}\]
Endergebnis
\[\begin{align*}
f''(x) &= {\color{red}-1} \cdot e^{-x} - x \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\
&= -e^{-x} + x \cdot e^{-x} \\
&= e^{-x} (-1 + x)\\
&= (x-1) \cdot e^{-x}
\end{align*}\]
3. Ableitung
Anwendung der Produktregel
\[f'''(x) = {\color{red}\left[(x-1)\right]'} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}\left[e^{-x}\right]'}\]
Dabei gilt:
\[{\color{red}\left[(x-1)\right]'} = {\color{red}1}\]
\[{\color{red}\left[e^{-x}\right]'} = {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \qquad \qquad \leftarrow \text{Kettenregel!}\]
Endergebnis
\(\begin{align*}
f'''(x) &= {\color{red}1} \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot {\color{red}e^{-x} \cdot (-1)} \\
&= e^{-x} - (x-1) \cdot e^{-x} \\
&= e^{-x} - [x \cdot e^{-x} - e^{-x}] \\
&= e^{-x} - x \cdot e^{-x} + e^{-x} \\
&= 2e^{-x} - x \cdot e^{-x}
\end{align*}\)
1. Definitionsbereich
Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?"
Merke: Die Exponentialfunktion ist in ganz \(\mathbb{R}\) definiert.
Für unsere Aufgabe gilt also: \(D_f = \mathbb{R}\).
2. Nullstellen
Nullstellen sind jene \(x\)-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.
Ansatz: \(f(x) = 0\)
Da die Funktion \(f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\) bereits in faktorisierter Form vorliegt,
können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:
\((x+1) \cdot e^{-x} = 0\)
Der 1. Faktor ist \((x+1)\). Wann wird der 1. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(x + 1 = 0\)
Nebenrechnung:
\(x + 1 = 0\)
\(x + 1 {\color{red}\: - \: 1} = {\color{red}-1}\)
\(x = -1\)
Der 1. Faktor wird Null, wenn \(x = -1\).
Der 2. Faktor ist \(e^{-x}\). Wann wird der 2. Faktor gleich Null?
Ansatz: \(e^{-x} = 0\)
Die Exponentialfunktion selbst besitzt keine Nullstelle!
\(\Rightarrow\) Die einzige Nullstelle der Funktion ist \(x_1 = -1\).
3. y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x=0\).
Ansatz: \(f(0)\)
Wir müssen also \(x = 0\) in die Funktion einsetzen.
\[f({\color{red}0}) = ({\color{red}0}+1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = 1\tag{Wichtig: \(e^0 = 1\)}\]
Der y-Achsenabschnitt ist bei \(y = 1\).
4. Verhalten im Unendlichen
Was passiert, wenn wir in unsere Funktion sehr große bzw. sehr kleine Zahlen einsetzen?
Für große Werte strebt die Funktion gegen Null.
\[\lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0\]
Für kleine Werte strebt die Funktion gegen "- unendlich".
\[\lim_{x\to -\infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = -\infty\]
5. Asymptoten
Wegen
\[\lim_{x\to \infty}\left((x+1) \cdot e^{-x}\right) = 0\]
ist \(y = 0\) eine waagrechte Asymptote.
6. Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = f(x)\)
Punktssymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
Im ersten Schritt setzen wir "\(-x\)" in die Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
ein:
\[f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x}+1) \cdot e^{-({\color{red}-x})} = (-x+1) \cdot e^{x}\]
Danach analysieren wir das Ergebnis. Es gilt:
\[(-x+1) \cdot e^{x} \neq f(x)\]
\[(-x+1) \cdot e^{x} \neq -f(x)\]
Fazit
Die Funktion ist weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
7. Extrempunkte
Für einen Hochpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) < 0\)
Für einen Tiefpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) > 0\)
1.) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Um die Extremwerte zu berechnen, müssen wir die 1. Ableitung gleich Null setzen
\[f'(x) = -x \cdot e^{-x}= 0\]
Da die Exponentialfunktion selbst keine Nullstelle besitzt, ergibt sich die einzige Nullstelle aus dem Term vor der Exponentialfunktion. Dementsprechend heißt die Nullstelle \(x_1 = 0\).
2.) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung
\(f''(x) = (x-1) \cdot e^{-x}\)
ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:
\[f''({\color{red}x_1}) = f''({\color{red}0}) = ({\color{red}0} - 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = -1 \cdot 1 = -1 < 0\]
Wir wissen jetzt, dass an der Stelle \(x_1\) ein Hochpunkt vorliegt.
3.) y-Koordinate des Extrempunktes berechnen
Zu guter Letzt müssen wir noch den y-Wert des Punktes berechnen.
Dazu setzen wir \(x_1\) in die ursprüngliche (!) Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
ein:
\[f({\color{red}x_1}) = f({\color{red}0}) =({\color{red}0} + 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = 1 \cdot 1 = {\color{blue}1}\]
Fazit
Der Hochpunkt hat die Koordinaten H \(({\color{red}0}|{\color{blue}1})\).
8. Monotonieverhalten
Die Funktion f ist streng monoton zunehmend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt.
Die Funktion f ist streng monoton abnehmend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt.
Da wir gerade die Extremwerte berechnet haben, lässt sich leicht logisch erklären, in welchen Bereichen die Funktion steigt bzw. fällt.
- Im Bereich \[\left]-\infty;0\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion bis zum Hochpunkt steigt
- Im Bereich \[\left]0;\infty\right[\]-> streng monoton fallend, da die Funktion nach dem Hochpunkt gegen "- unendlich" strebt
Wer sich das nicht logisch erschließen kann oder die Extremwerte noch nicht berechnet hat, sollte eine Monotonietabelle nach folgendem Schema aufstellen.
- Die Nullstellen der 1. Ableitung und Definitionslücken geben die Bereiche vor, die man untersuchen muss.
-> der erste Bereich geht von "- unendlich" bis zur Nullstelle der 1. Ableitung
-> der zweite Bereich ist geht von der Nullstelle der 1. Ableitung bis "+ unendlich" - Wähle aus jedem Intervall irgendeinen Wert, setze ihn in die 1. Ableitung ein und notiere das Vorzeichen in der zweiten Reihe.
\[\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;\infty\right[ \\
\hline
f'(x) & + & -\\
& \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend}
\end{array}\]
9. Krümmung
Der Graph ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt.
Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn \(f''(x) < 0\) gilt.
Wir müssen uns überlegen, wann die 2. Ableitung größer bzw. kleiner Null wird.
\[f''(x) =(x-1) \cdot e^{-x} > 0 \]
Da die Exponentialfunktion immer größer Null ist, reicht es, wenn man den ersten Teil der Gleichung betrachtet:
\(x - 1 > 0\)
\(x - 1 {\color{red}\: + \: 1} > {\color{red}+1}\)
\(x > 1\)
Fazit
Für \(x > 1\) ist der Graph linksgekrümmt - entsprechend ist er für \(x < 1\) rechtsgekrümmt.
10. Wendepunkt und Wendetangente
Am Wendepunkt wechselt der Graph seine Krümmung.
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:
\(f''(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f'''(x_0) \neq 0\)
1.) Nullstelle der 2. Ableitung berechnen
Ansatz: \(f''(x) = (x-1) \cdot e^{-x} = 0\)
Da die Exponential immer größer Null ist, reicht es, wenn man den ersten Teil der Gleichung betrachtet:
\(x - 1 = 0\)
\(x - 1 {\color{red}\: + \: 1} = {\color{red}+1}\)
\(x = 1\)
2.) Überprüfen, ob die 3. Ableitung (für x = 1) ungleich Null ist
Wir setzen \(x = 1\) in die 3. Ableitung
\(f'''(x)= 2e^{-x} - x \cdot e^{-x}\)
ein
\(f'''({\color{red}1}) = 2e^{-{\color{red}1}} - {\color{red}1} \cdot e^{-{\color{red}1}} \neq 0\)
und stellen fest, dass die 3. Ableitung in diesem Fall ungleich Null ist.
Demzufolge liegt hier auch wirklich ein Wendepunkt vor.
3.) y-Koordinate des Wendepunktes berechnen
Jetzt setzen wir \(x = 1\) in die ursprüngliche Funktion
\[f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\]
ein, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen:
\(f({\color{red}1}) = ({\color{red}1}+1) \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{blue}\frac{2}{e}}\)
Fazit
Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(\left({\color{red}1}|{\color{blue}\frac{2}{e}}\right)\).
Die Gleichung der Wendetangente lautet
\(t_w: \quad y = m \cdot (x - x_0) + y_0\)
Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Wendepunktes.
\(m\) ist die Steigung der Tangente.
Da wir \(x_0\) und \(y_0\) eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung \(m\) ermitteln. Dazu setzen wir die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung
\(f'(x) = -x \cdot e^{-x}\)
ein:
\(m = f'({\color{red}1}) = -{\color{red}1} \cdot e^{-{\color{red}1}} = {\color{green}-\frac{1}{e}}\)
Setzen wir unsere Ergebnisse in die Gleichung für die Wendetangente ein, so erhalten wir
\(t_w: \quad y ={\color{green}-\frac{1}{e}} \cdot (x - {\color{red}1}) + {\color{blue}\frac{2}{e}} = -\frac{1}{e}x + \frac{3}{e}\)
11. Wertebereich
Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche y-Werte kann die Funktion annehmen?"
Der Wertebereich geht in diesem Fall von "- unendlich" bis zum Hochpunkt (y-Wert!).
Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: \(W_f = \left]-\infty;1\right]\)
12. Wertetabelle und Graph
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
f(x) & -7,38 & -2,24 & 0 & 0,82 & 1 & 0,74 & 0,41 & 0,20 & 0,09
\end{array}\]
Nullstellen
\(x_1 = -1\)
Extrempunkte
Hochpunkt H (0 | 1)
Wendepunkte
W (1 | \(\frac{2}{e}\))
Asymptoten (in rot)
waagrecht: \(y = 0\)
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider