Parameterform
In diesem Kapitel besprechen wir die Parameterform.
Die Parameterform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.
Parameterform einer Geraden
\(\text{g:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)
Bedeutung
- \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
- \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
- \(\vec{u}\): Richtungsvektor
Beispiel
\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
Punkt auf einer Geraden
Jeder Punkt einer Geraden wird in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) beschrieben.
Wenn also die Gerade
\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
gegeben ist und man drei verschiedene Punkte auf dieser Geraden sucht, setzt man einfach irgendwelche Werte für \(\lambda\) ein.
| \(\lambda = 0\) Bei \(\lambda = 0\) handelt es sich um einen Spezialfall, denn der Aufpunkt liegt immer auf der Geraden! |
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) |
| \(\lambda = 1\) | \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}\) |
| \(\lambda = 2\) | \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 11 \end{pmatrix}\) |
Aufgabentypen
|
Geradengleichung in Parameterform aufstellen |
| Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt |
| Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen |
Parameterform einer Ebene
\(\text{E:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}\)
Bedeutung
- \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
- \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
- \(\vec{u}\): Richtungsvektor
- \(\mu\): Parameter ("My")
- \(\vec{v}\): Richtungsvektor
Beispiel
\(\text{E:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}\)
Punkt auf einer Ebene
Jeder Punkt einer Ebene wird in Abhängigkeit der Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) beschrieben.
(vgl. Abschnitt "Punkt auf einer Geraden")
Parameterform umwandeln
| Parameterform gegeben |
| Parameterform in Koordinatenform |
| Parameterform in Normalenform |
| Parameterform nicht gegeben |
| Koordinatenform in Parameterform |
| Normalenform in Parameterform |
Je nach Aufgabenstellung kann es notwendig sein, die Parameterform umzuwandeln.
Hat dir meine Erklärung geholfen?
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider