Parameterform
In diesem Kapitel besprechen wir die Parameterform.
Die Parameterform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.
Parameterform einer Geraden
\(\text{g:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)
Bedeutung
- \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
- \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
- \(\vec{u}\): Richtungsvektor
Beispiel
\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
Punkt auf einer Geraden
Jeder Punkt einer Geraden wird in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) beschrieben.
Wenn also die Gerade
\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
gegeben ist und man drei verschiedene Punkte auf dieser Geraden sucht, setzt man einfach irgendwelche Werte für \(\lambda\) ein.
| \(\lambda = 0\) Bei \(\lambda = 0\) handelt es sich um einen Spezialfall, denn der Aufpunkt liegt immer auf der Geraden! |
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) |
| \(\lambda = 1\) | \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}\) |
| \(\lambda = 2\) | \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 11 \end{pmatrix}\) |
Aufgabentypen
|
Geradengleichung in Parameterform aufstellen |
| Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt |
| Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen |
Parameterform einer Ebene
\(\text{E:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}\)
Bedeutung
- \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
- \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
- \(\vec{u}\): Richtungsvektor
- \(\mu\): Parameter ("My")
- \(\vec{v}\): Richtungsvektor
Beispiel
\(\text{E:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}\)
Punkt auf einer Ebene
Jeder Punkt einer Ebene wird in Abhängigkeit der Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) beschrieben.
(vgl. Abschnitt "Punkt auf einer Geraden")
Parameterform umwandeln
| Parameterform gegeben |
| Parameterform in Koordinatenform |
| Parameterform in Normalenform |
| Parameterform nicht gegeben |
| Koordinatenform in Parameterform |
| Normalenform in Parameterform |
Je nach Aufgabenstellung kann es notwendig sein, die Parameterform umzuwandeln.
Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.
Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Dein Andreas