Parameterform

In diesem Kapitel besprechen wir die Parameterform.

Die Parameterform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.

Parameterform einer Geraden

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)

Bedeutung

  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
  • \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
  • \(\vec{u}\): Richtungsvektor

Beispiel

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)

Punkt auf einer Geraden

Jeder Punkt einer Geraden wird in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) beschrieben.

Wenn also die Gerade

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)

gegeben ist und man drei verschiedene Punkte auf dieser Geraden sucht, setzt man einfach irgendwelche Werte für \(\lambda\) ein.

\(\lambda = 0\)

Bei \(\lambda = 0\) handelt es sich um einen Spezialfall, denn der Aufpunkt liegt immer auf der Geraden!
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(\lambda = 1\) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}\)
\(\lambda = 2\) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 11 \end{pmatrix}\)

Aufgabentypen

Geradengleichung in Parameterform aufstellen

Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt
Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen

Lagebeziehungen von Geraden

Parameterform einer Ebene

\(\text{E:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}\)

Bedeutung

  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
  • \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
  • \(\vec{u}\): Richtungsvektor
  • \(\mu\): Parameter ("My")
  • \(\vec{v}\): Richtungsvektor

Beispiel

\(\text{E:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}\)

Punkt auf einer Ebene

Jeder Punkt einer Ebene wird in Abhängigkeit der Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) beschrieben.
(vgl. Abschnitt "Punkt auf einer Geraden")

Parameterform umwandeln

Parameterform gegeben
Parameterform in Koordinatenform
Parameterform in Normalenform
Parameterform nicht gegeben
Koordinatenform in Parameterform
Normalenform in Parameterform

Je nach Aufgabenstellung kann es notwendig sein, die Parameterform umzuwandeln.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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