Parameterform
In diesem Kapitel besprechen wir die Parameterform.
Die Parameterform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.
Parameterform einer Geraden
\(g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)
Bedeutung
- \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
- \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
- \(\vec{u}\): Richtungsvektor
Beispiel
\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
Punkt auf einer Geraden
Jeder Punkt einer Geraden wird in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) beschrieben.
Wenn also die Gerade
\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
gegeben ist und man drei verschiedene Punkte auf dieser Geraden sucht, setzt man einfach irgendwelche Werte für \(\lambda\) ein.
\(\lambda = 0\) Bei \(\lambda = 0\) handelt es sich um einen Spezialfall, denn der Aufpunkt liegt immer auf der Geraden! |
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) |
\(\lambda = 1\) | \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}\) |
\(\lambda = 2\) | \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 11 \end{pmatrix}\) |
Aufgabentypen
Geradengleichung in Parameterform aufstellen |
Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt |
Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen |
Parameterform einer Ebene
\(E\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}\)
Bedeutung
- \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
- \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
- \(\vec{u}\): Richtungsvektor
- \(\mu\): Parameter ("My")
- \(\vec{v}\): Richtungsvektor
Beispiel
\(E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}\)
Punkt auf einer Ebene
Jeder Punkt einer Ebene wird in Abhängigkeit der Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) beschrieben.
(vgl. Abschnitt "Punkt auf einer Geraden")
Parameterform umwandeln
Parameterform gegeben |
Parameterform in Koordinatenform |
Parameterform in Normalenform |
Parameterform nicht gegeben |
Koordinatenform in Parameterform |
Normalenform in Parameterform |
Je nach Aufgabenstellung kann es notwendig sein, die Parameterform umzuwandeln.
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