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Normalenform in Parameterform

In diesem Kapitel werden wir die Normalenform in Parameterform umwandeln.

Gerade: Normalenform in Parameterform
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

Das Umwandeln einer Geraden von der Normalenform in die Parameterform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Normalenform in Koordinatenform umwandeln
    1.1 Distributivgesetz anwenden
    1.2 Ausmultiplizieren
  2. Koordinatenform in Parameterform umwandeln
    2.1 Koordinatenform nach \(x_2\) auflösen
    2.2 \(x_1\) durch \(\lambda\) ersetzen
    2.3 Parameterform aufstellen

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Normalenform

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

1.1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)

1.2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - 8 + 3 = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\)

Die Koordinatenform der Geraden lautet folglich

\(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 = 5\)

2.1) Koordinatenform nach \(x_2\) auflösen

\(4x_1 + 3x_2 = 5 \quad |-4x_1\)

\(3x_2 = 5 - 4x_1 \quad |:3\)

\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1\)

2.2) \(x_1\) durch \(\lambda\) ersetzen

\(x_1 = \lambda\)

\(\Rightarrow x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda\)

2.3) Parameterform aufstellen

Bevor wir die Parameterform aufstellen, schauen wir uns an, wie diese aussieht:

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)

oder ausgeschrieben

\(\text{g:} \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}\)

Dabei gilt:

- \(a_1\) und \(a_2\) sind die Koordinaten des Aufpunkts \(\vec{a}\)
- \(u_1\) und \(u_2\) sind die Koordinaten des Richtungsvektors \(\vec{u}\)

Der Richtungsvektor lässt sich leicht von dem Aufpunkt unterscheiden:
Vor dem Richtungsvektor steht ein Parameter (hier: \(\lambda\)).

\(x_1\) und \(x_2\) lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:

\(x_1 = a_1 + \lambda \cdot u_1\)
\(x_2 = a_2 + \lambda \cdot u_2\)

\(x_1\) und \(x_2\) setzen sich jeweils zusammen aus
> einer Koordinate des Aufpunkts und
> einer Koordinate des Richtungsvektors.

Zurück zu unserem Beispiel:

\(x_1 = \lambda\)
\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda\)

Diese beiden Zeilen müssen wir nun so umschreiben, dass wir
- die Koordinaten des Aufpunkts und
- die Koordinaten des Richtungsvektors
ablesen können.

Schauen wir uns zuerst die \(x_2\)-Zeile an, da diese einfacher ist.

Die \(x_2\)-Zeile
\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda\)
formen wir um zu
\(x_2 = {\color{red}\frac{5}{3}} + \lambda \cdot ({\color{red}-\frac{4}{3}})\)
Die \(x_2\)-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:
\(x_2 = {\color{red}a_2} + \lambda \cdot {\color{red}u_2}\)

Jetzt betrachten wir die \(x_1\)-Zeile.

Die \(x_1\)-Zeile
\(x_1 = \lambda\)
formen wir um zu
\(x_1 = \lambda \cdot 1\)
Die Koordinate des Richtungsvektors ist also 1.

Und was ist mit der Koordinate des Aufpunkts?
Da diese Koordinate in der Gleichung nicht vorkommt, ist sie gleich Null.

Die \(x_1\)-Zeile
\(x_1 = \lambda \cdot 1\)
können wir demnach umformen zu
\(x_1 = {\color{red}0} + \lambda \cdot {\color{red}1}\)
Die \(x_1\)-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:
\(x_1 = {\color{red}a_1} + \lambda \cdot {\color{red}u_1}\)

Wenn wir also die im 2. Schritt berechneten Zeilen

\(x_1 = \lambda\)
\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}\lambda\)

folgendermaßen umschreiben,

\(\begin{array}{ccccc}
x_1&=&{\color{red}0}&+&\lambda \cdot {\color{red}1}&\\
x_2&=&{\color{red}\frac{5}{3}}&+& \lambda \cdot ({\color{red}-\frac{4}{3}})&\\
\end{array}\)

fällt der Übergang zur Parameterform nicht mehr schwer

\(\text{g:} \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}0} \\ {\color{red}\frac{5}{3}} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}1} \\ {\color{red}-\frac{4}{3}} \end{pmatrix}\)

Hinweis

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen,
weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Ebene: Normalenform in Parameterform

Das Umwandeln einer Ebene von der Normalenform in die Parameterform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Normalenform in Koordinatenform umwandeln
    1.1 Distributivgesetz anwenden
    1.2 Ausmultiplizieren
  2. Koordinatenform in Parameterform umwandeln
    2.1 Koordinatenform nach \(x_3\) auflösen
    2.2 \(x_1\) durch \(\lambda\) und \(x_2\) durch \(\mu\) ersetzen
    2.3 Parameterform aufstellen

Beispiel

Gegegeben ist eine Ebene in Normalenform

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 0\)

1.1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)

1.2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) - (2 \cdot 0) = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 8 + 3 - 0 = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0\)

Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5\)

2.1) Koordinatenform nach \(x_3\) auflösen

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5 \quad | - 4x1 - 3x_2\)

\(2x_3 = 5 - 4x1 - 3x_2 \quad |:2\)

\(x_3 = \frac{5}{2} - 2x_1 - \frac{3}{2}x_2\)

2.2) \(x_1\) durch \(\lambda\) und \(x_2\) durch \(\mu\) ersetzen

\(x_1 = \lambda\)

\(x_2 = \mu\)

\(\Rightarrow x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu\)

2.3) Parameterform aufstellen

Bevor wir die Parameterform aufstellen, schauen wir uns an, wie diese aussieht:

\(\text{E:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}\)

oder ausgeschrieben

\(\text{E:} \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\)

Dabei gilt:

- \(a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) sind die Koordinaten des Aufpunkts \(\vec{a}\)
- \(u_1\), \(u_2\) und \(u_3\) sind die Koordinaten des 1. Richtungsvektors \(\vec{u}\)
- \(v_1\), \(v_2\) und \(v_3\) sind die Koordinaten des 2. Richtungsvektors \(\vec{v}\)

Ein Richtungsvektor lässt sich leicht von einem Aufpunkt unterscheiden:
Vor einem Richtungsvektor steht ein Parameter (hier: \(\lambda\) und \(\mu\)).

\(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:

\(x_1 = a_1 + \lambda \cdot u_1 + \mu \cdot v_1\)
\(x_2 = a_2 + \lambda \cdot u_2 + \mu \cdot v_2\)
\(x_3 = a_3 + \lambda \cdot u_3 + \mu \cdot v_3\)

\(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) setzen sich jeweils zusammen aus
> einer Koordinate des Aufpunkts,
> einer Koordinate des 1. Richtungsvektors und
> einer Koordinate des 2. Richtungsvektors.

Zurück zu unserem Beispiel:

\(x_1 = \lambda\)
\(x_2 = \mu\)
\(x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu\)

Diese drei Zeilen müssen wir nun so umschreiben, dass wir
- die Koordinaten des Aufpunkts,
- die Koordinaten des 1. Richtungsvektors und
- die Koordinaten des 2. Richtungsvektors
ablesen können.

Schauen wir uns zuerst die \(x_3\)-Zeile an, da diese am einfachsten ist.

Die \(x_3\)-Zeile
\(x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu\)
formen wir um zu
\(x_3 = {\color{red}\frac{5}{2}} + \lambda \cdot ({\color{red}-2}) + \mu \cdot ({\color{red}-\frac{3}{2}})\)
Die \(x_3\)-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:
\(x_3 = {\color{red}a_3} + \lambda \cdot {\color{red}u_3} + \mu \cdot {\color{red}v_3}\)

Jetzt betrachten wir die \(x_2\)-Zeile.

Die \(x_2\)-Zeile
\(x_2 = \mu\)
formen wir um zu
\(x_2 = \mu \cdot 1\)
Die Koordinate des 2. Richtungsvektors ist also 1.

Und was ist mit der Koordinate des Aufpunkts und des 1. Richtungsvektors?
Da diese Koordinaten in der Gleichung nicht vorkommen, sind sie gleich Null.

Die \(x_2\)-Zeile
\(x_2 = \mu \cdot 1\)
können wir demnach umformen zu
\(x_2 = {\color{red}0} + \lambda \cdot {\color{red}0} + \mu \cdot {\color{red}1}\)
Die \(x_2\)-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:
\(x_2 = {\color{red}a_2} + \lambda \cdot {\color{red}u_2} + \mu \cdot {\color{red}v_2}\)

Zu guter Letzt ist die \(x_1\)-Zeile dran.

Die \(x_1\)-Zeile
\(x_1 = \lambda\)
formen wir um zu
\(x_1 = \lambda \cdot 1\)
Die Koordinate des 1. Richtungsvektors ist also 1.

Und was ist mit der Koordinate des Aufpunkts und des 2. Richtungsvektors?
Da diese Koordinaten in der Gleichung nicht vorkommen, sind sie gleich Null.

Die \(x_1\)-Zeile
\(x_1 = \lambda \cdot 1\)
können wir demnach umformen zu
\(x_1 = {\color{red}0} + \lambda \cdot {\color{red}1} + \mu \cdot {\color{red}0}\)
Die \(x_1\)-Zeile entspricht nun der allgemeinen Form:
\(x_1 = {\color{red}a_1} + \lambda \cdot {\color{red}u_1} + \mu \cdot {\color{red}v_1}\)

Wenn wir also die im 2. Schritt berechneten Zeilen

\(x_1 = \lambda\)
\(x_2 = \mu\)
\(x_3 = \frac{5}{2} - 2\lambda - \frac{3}{2}\mu\)

folgendermaßen umschreiben,

\(\begin{array}{ccccccc}
x_1&=&{\color{red}0}&+&\lambda \cdot {\color{red}1}&+&\mu \cdot {\color{red}0}\\
x_2&=&{\color{red}0}&+&\lambda \cdot {\color{red}0}&+&\mu \cdot {\color{red}1}\\
x_3&=&{\color{red}\frac{5}{2}}&+&\lambda \cdot ({\color{red}-2})&+&\mu \cdot ({\color{red}-\frac{3}{2}})
\end{array}\)

fällt der Übergang zur Parameterform nicht mehr schwer

\(\text{E:} \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}0} \\ {\color{red}0} \\ {\color{red}\frac{5}{2}} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}1} \\ {\color{red}0} \\ {\color{red}-2} \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}0} \\ {\color{red}1} \\ {\color{red}-\frac{3}{2}} \end{pmatrix}\)

Das Umwandeln der Normalenform in die Parameterform ist leider nicht ganz so einfach und bedarf einiger Übung. Wenn du aber bereits weißt, wie man die Normalenform in die Koordinatenform umwandelt und die Koordinatenform in die Parameterform, dann solltest du aber auch mit diesem Thema zurechtkommen.

Mehr zu diesem Thema...

Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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