Normalenform in Koordinatenform

In diesem Kapitel werden wir die Normalenform in Koordinatenform umwandeln.

Gerade: Normalenform in Koordinatenform
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

Das Umwandeln einer Geraden von der Normalenform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Distributivgesetz anwenden
  2. Ausmultiplizieren

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Normalenform

\(g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(g\colon\; \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)

2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - 8 + 3 = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\)

Die Koordinatenform der Geraden lautet folglich

\(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 = 5\)

Hinweis

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen,
weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Ebene: Normalenform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Normalenform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Distributivgesetz anwenden
  2. Ausmultiplizieren

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Normalenform

\(E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right]= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 0\)

1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(E\colon\; \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)

2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) - (2 \cdot 0) = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 8 + 3 - 0 = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0\)

Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5\)

Das Umwandeln der Normalenform in Koordinatenform ist eigentlich gar nicht schwer. Voraussetzung ist jedoch, dass du weißt, wie man das Skalarprodukt berechnet.

Mehr zu diesem Thema...

Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!