Normalenform in Koordinatenform
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Normalenform in Koordinatenform umwandelt.
Einordnung
Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:
| Schwierigkeit | Zwischenform | |
|---|---|---|
| Parameterform in Normalenform | einfach | — |
| Normalenform in Koordinatenform | einfach | — |
| Parameterform in Koordinatenform | mittel | Normalenform |
| Koordinatenform in Parameterform | mittel | — |
| Normalenform in Parameterform | schwer | Koordinatenform |
| Koordinatenform in Normalenform | einfach | — |
Geradengleichung umwandeln
Eine Geradengleichung in Normalenform gibt es nur im $\mathbb{R}^2$, weil es im $\mathbb{R}^3$ keinen eindeutigen Normalenvektor gibt.
Anleitung
Distributivgesetz anwenden
Ausmultiplizieren
Beispiel
Gegeben ist eine Gerade in Normalenform
$$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Distributivgesetz anwenden
$$ g\colon\; \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 $$
Ausmultiplizieren
$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ 4x_1 + 3x_2 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) = 0 $$
$$ 4x_1 + 3x_2 - 8 + 3 = 0 $$
$$ 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 $$
Die Koordinatenform der Gerade lautet folglich
$$ 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 = 5 $$
Ebenengleichung umwandeln
Anleitung
Distributivgesetz anwenden
Ausmultiplizieren
Beispiel
Gegeben ist eine Ebene in Normalenform
$$ E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right]= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Distributivgesetz anwenden
$$ E\colon\; \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$
Ausmultiplizieren
$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) - (2 \cdot 0) = 0 $$
$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 8 + 3 - 0 = 0 $$
$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 $$
Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich
$$ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5 $$
