Normalenform
In diesem Kapitel besprechen wir die Normalenform.
Die Normalenform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.
Normalenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)
\(g\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)
Bedeutung
- \(\vec{n}\): Normalenvektor
Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet. - \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
Besonderheit
Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen, weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!
Beispiel
\(g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)
Normalenform einer Ebene
\(E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)
Bedeutung
- \(\vec{n}\): Normalenvektor
Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
Beispiel
\(E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)
Normalenform umformen
| Normalenform gegeben |
| Normalenform in Parameterform |
| Normalenform in Koordinatenform |
| Normalenform nicht gegeben |
| Parameterform in Normalenform |
| Koordinatenform in Normalenform |
Je nach Aufgabenstellung kann es notwendig sein, die Normalenform umzuwandeln.
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