Normalenform

In diesem Kapitel besprechen wir die Normalenform.

Die Normalenform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.

Normalenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Besonderheit

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen, weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Beispiel

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Normalenform einer Ebene

\(\text{E:} \quad\vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Normalenform umformen

Normalenform gegeben
Normalenform in Parameterform
Normalenform in Koordinatenform
Normalenform nicht gegeben
Parameterform in Normalenform
Koordinatenform in Normalenform

Je nach Aufgabenstellung kann es notwendig sein, die Normalenform umzuwandeln.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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