Normalenform

In diesem Kapitel besprechen wir die Normalenform.

Die Normalenform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.

Normalenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(g\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Besonderheit

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen, weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Beispiel

\(g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Normalenform einer Ebene

\(E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel

\(E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Normalenform umformen

Normalenform gegeben
Normalenform in Parameterform
Normalenform in Koordinatenform
Normalenform nicht gegeben
Parameterform in Normalenform
Koordinatenform in Normalenform

Je nach Aufgabenstellung kann es notwendig sein, die Normalenform umzuwandeln.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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