Normalenform

In diesem Kapitel besprechen wir die Normalenform.

Die Normalenform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.

Normalenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

\(\vec{n}\): Normalenvektor
Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
\(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Besonderheit

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen, weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Beispiel

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Normalenform einer Ebene

\(\text{E:} \quad\vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

\(\vec{n}\): Normalenvektor
Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
\(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)