Parameterform in Koordinatenform
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Parameterform in Koordinatenform umwandelt.
Einordnung
Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:
| Schwierigkeit | Zwischenform | |
|---|---|---|
| Parameterform in Normalenform | einfach | — |
| Normalenform in Koordinatenform | einfach | — |
| Parameterform in Koordinatenform | mittel | Normalenform |
| Koordinatenform in Parameterform | mittel | — |
| Normalenform in Parameterform | schwer | Koordinatenform |
| Koordinatenform in Normalenform | einfach | — |
Geradengleichung umwandeln
Anleitung
Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
Eine der beiden Gleichungen nach $\boldsymbol{\lambda}$ auflösen und in die andere einsetzen
Beispiel
Gegeben ist eine Gerade in Parameterform
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix} $$
Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
$$ \begin{array}{ccccc} x_1&=&0&+&1\cdot \lambda&\\ x_2&=&\frac{5}{3}&+&(-\frac{4}{3})\cdot \lambda&\\ \end{array} $$
Eine der beiden Gleichungen nach $\boldsymbol{\lambda}$ auflösen und in die andere einsetzen
Wir lösen die erste Gleichung nach $\lambda$ auf
$$ x_1 = 0 + 1 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = x_1 $$
Jetzt setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung für $\lambda$ ein
$$ x_2 = \frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot x_1 $$
$$ x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1 $$
Unser Ergebnis lässt sich noch verschönern
, wenn man die Gleichung mit 3 multipliziert, um die Brüche zu beseitigen
$$ 3x_2 = 5 - 4x_1 $$
und anschließend $x_1$ auf die linke Seite bringt
$$ 4x_1 + 3x_2 = 5 $$
Ebenengleichung umwandeln
Erforderliches Vorwissen
Anleitung
Parameterform in Normalenform
Normalenvektor $\vec{n}$ berechnen
Aufpunkt $\vec{a}$ auswählen
$\vec{n}$ und $\vec{a}$ in Normalenform einsetzen
Normalenform in Koordinatenform
Distributivgesetz anwenden
Ausmultiplizieren
Beispiel
Gegeben ist eine Ebene in Parameterform
$$ E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} $$
Parameterform in Normalenform
Normalenvektor $\vec{n}$ berechnen
Der Normalenvektor $\vec{n}$ entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1{,}5) - (-2) \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1{,}5) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Aufpunkt $\vec{a}$ auswählen
Als Aufpunkt der Normalenform übernehmen wir einfach den Aufpunkt der Parameterform.
$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} $$
$\vec{n}$ und $\vec{a}$ in Normalenform einsetzen
$$ E\colon\; \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Normalenform in Koordinatenform
Distributivgesetz anwenden
$$ E\colon\; \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0 $$
2.2) Ausmultiplizieren
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ 2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - (2 \cdot 0) - (1{,}5 \cdot 0) - (1 \cdot 2{,}5) = 0 $$
$$ 2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - 0 - 0 - 2{,}5 = 0 $$
$$ 2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0 $$
Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich
$$ 2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 = 2{,}5 $$
