Parameterform in Koordinatenform
In diesem Kapitel werden wir die Parameterform in Koordinatenform umwandeln.
Gerade: Parameterform in Koordinatenform
Das Umwandeln einer Geraden von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:
Vorgehensweise
- Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
- Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen
und in die andere einsetzen
Beispiel
Gegeben ist eine Gerade in Parameterform
\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}\)
1.) Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
\(\begin{array}{ccccc}
x_1&=&0&+&1\cdot \lambda&\\
x_2&=&\frac{5}{3}&+&(-\frac{4}{3})\cdot \lambda&\\
\end{array}\)
2.) Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen und in die andere einsetzen
Wir lösen die erste Gleichung nach \(\lambda\) auf
\(x_1 = 0 + 1 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = x_1\)
Jetzt setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung für \(\lambda\) ein
\(x_2 = \frac{5}{3}+(-\frac{4}{3})\cdot x_1\)
\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1\)
Unser Ergebnis lässt sich noch "verschönern", wenn man die Gleichung mit 3 multipliziert, um die Brüche zu beseitigen
\(3x_2 = 5 - 4x_1\)
und anschließend \(x_1\) auf die linke Seite bringt
\(4x_1 + 3x_2 = 5\)
Ebene: Parameterform in Koordinatenform
Das Umwandeln einer Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:
Vorgehensweise
- Parameterform in Normalenform
1.1 Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen
1.2 Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen
1.3 \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen - Normalenform in Koordinatenform
2.1 Distributivgesetz anwenden
2.2 Ausmultiplizieren
Beispiel
Gegeben ist eine Ebene in Parameterform
\(E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\)
1.1) Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen
Der Normalenvektor \(\vec{n}\) entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1{,}5) - (-2) \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1{,}5) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\)
1.2) Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen
Als Aufpunkt der Normalenform übernehmen wir einfach den Aufpunkt der Parameterform.
\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\)
1.3) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen
\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\right] = 0\)
2.1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)
\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0\)
2.2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)
\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0\)
\(2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - (2 \cdot 0) - (1{,}5 \cdot 0) - (1 \cdot 2{,}5) = 0\)
\(2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - 0 - 0 - 2{,}5 = 0\)
\(2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0\)
Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich
\(2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 = 2{,}5\)
Das Umwandeln der Parameterform in die Koordinatenform ist leider nicht ganz so einfach und bedarf einiger Übung. Wenn du aber bereits weißt, wie man die Parameterform in Normalenform umwandelt und die Normalenform in Koordinatenform, dann solltest du aber auch mit diesem Thema zurechtkommen.
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Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:
Schwierigkeit | Zwischenform | |
Parameterform in Normalenform | einfach | --- |
Normalenform in Koordinatenform | einfach | --- |
Parameterform in Koordinatenform | mittel | Normalform |
Koordinatenform in Parameterform | mittel | --- |
Normalenform in Parameterform | schwer | Koordinatenform |
Koordinatenform in Normalenform | einfach | --- |
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