Parameterform in Koordinatenform

Gerade: Parameterform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Geraden von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Parameterform

\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}\)

1.) Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben

\(\begin{array}{ccccc}
x_1&=&0&+&1\cdot \lambda&\\
x_2&=&\frac{5}{3}&+&(-\frac{4}{3})\cdot \lambda&\\
\end{array}\)

2.) Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen und in die andere einsetzen

Wir lösen die erste Gleichung nach \(\lambda\) auf

\(x_1 = 0 + 1 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = x_1\)

Jetzt setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung für \(\lambda\) ein

\(x_2 = \frac{5}{3}+(-\frac{4}{3})\cdot x_1\)

\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1\)

Unser Ergebnis lässt sich noch "verschönern", wenn man die Gleichung mit 3 multipliziert, um die Brüche zu beseitigen

\(3x_2 = 5 - 4x_1\)

und anschließend \(x_1\) auf die linke Seite bringt

\(4x_1 + 3x_2 = 5\)

Ebene: Parameterform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Parameterform

\(E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\)

1.1) Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen

Der Normalenvektor \(\vec{n}\) entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1{,}5) - (-2) \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1{,}5) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1.2) Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen

Als Aufpunkt der Normalenform übernehmen wir einfach den Aufpunkt der Parameterform.

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\)

1.3) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\right] = 0\)

2.1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0\)

2.2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0\)

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - (2 \cdot 0) - (1{,}5 \cdot 0) - (1 \cdot 2{,}5) = 0\)

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - 0 - 0 - 2{,}5 = 0\)

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0\)

Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 = 2{,}5\)

Das Umwandeln der Parameterform in die Koordinatenform ist leider nicht ganz so einfach und bedarf einiger Übung. Wenn du aber bereits weißt, wie man die Parameterform in Normalenform umwandelt und die Normalenform in Koordinatenform, dann solltest du aber auch mit diesem Thema zurechtkommen.

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Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

	Schwierigkeit	Zwischenform
Parameterform in Normalenform	einfach	---
Normalenform in Koordinatenform	einfach	---
Parameterform in Koordinatenform	mittel	Normalform
Koordinatenform in Parameterform	mittel	---
Normalenform in Parameterform	schwer	Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform	einfach	---