Parameterform in Koordinatenform

In diesem Kapitel werden wir die Parameterform in Koordinatenform umwandeln.

Gerade: Parameterform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Geraden von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
  2. Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen
    und in die andere einsetzen

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Parameterform

\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}\)

1.) Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben

\(\begin{array}{ccccc}
x_1&=&0&+&1\cdot \lambda&\\
x_2&=&\frac{5}{3}&+&(-\frac{4}{3})\cdot \lambda&\\
\end{array}\)

2.) Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen und in die andere einsetzen

Wir lösen die erste Gleichung nach \(\lambda\) auf

\(x_1 = 0 + 1 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = x_1\)

Jetzt setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung für \(\lambda\) ein

\(x_2 = \frac{5}{3}+(-\frac{4}{3})\cdot x_1\)

\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1\)

Unser Ergebnis lässt sich noch "verschönern", wenn man die Gleichung mit 3 multipliziert, um die Brüche zu beseitigen

\(3x_2 = 5 - 4x_1\)

und anschließend \(x_1\) auf die linke Seite bringt

\(4x_1 + 3x_2 = 5\)

Ebene: Parameterform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Parameterform in Normalenform
    1.1 Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen
    1.2 Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen
    1.3 \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen
  2. Normalenform in Koordinatenform
    2.1 Distributivgesetz anwenden
    2.2 Ausmultiplizieren

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Parameterform

\(E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\)

1.1) Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen

Der Normalenvektor \(\vec{n}\) entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1{,}5) - (-2) \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1{,}5) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1.2) Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen

Als Aufpunkt der Normalenform übernehmen wir einfach den Aufpunkt der Parameterform.

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\)

1.3) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\right] = 0\)

2.1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0\)

2.2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = 0\)

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - (2 \cdot 0) - (1{,}5 \cdot 0) - (1 \cdot 2{,}5) = 0\)

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + 1x_3 - 0 - 0 - 2{,}5 = 0\)

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0\)

Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

\(2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 - 2{,}5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 2x_1 + 1{,}5x_2 + x_3 = 2{,}5\)

Das Umwandeln der Parameterform in die Koordinatenform ist leider nicht ganz so einfach und bedarf einiger Übung. Wenn du aber bereits weißt, wie man die Parameterform in Normalenform umwandelt und die Normalenform in Koordinatenform, dann solltest du aber auch mit diesem Thema zurechtkommen.

Mehr zu diesem Thema...

Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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