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Parameterform in Koordinatenform

In diesem Kapitel werden wir die Parameterform in Koordinatenform umwandeln.

Gerade: Parameterform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Geraden von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
  2. Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen
    und in die andere einsetzen

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Parameterform

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}\)

1.) Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben

\(\begin{array}{ccccc}
x_1&=&0&+&1\cdot \lambda&\\
x_2&=&\frac{5}{3}&+&(-\frac{4}{3})\cdot \lambda&\\
\end{array}\)

2.) Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen und in die andere einsetzen

Wir lösen die erste Gleichung nach \(\lambda\) auf

\(x_1 = 0 + 1 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = x_1\)

Jetzt setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung für \(\lambda\) ein

\(x_2 = \frac{5}{3}+(-\frac{4}{3})\cdot x_1\)

\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1\)

Unser Ergebnis lässt sich noch "verschönern", wenn man die Gleichung mit 3 multipliziert, um die Brüche zu beseitigen

\(3x_2 = 5 - 4x_1\)

und anschließend \(x_1\) auf die linke Seite bringt

\(4x_1 + 3x_2 = 5\)

Ebene: Parameterform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Parameterform in Normalenform
    1.1 Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen
    1.2 Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen
    1.3 \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen
  2. Normalenform in Koordinatenform
    2.1 Distributivgesetz anwenden
    2.2 Ausmultiplizieren

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Parameterform

\(\text{E:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2,5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1,5 \end{pmatrix}\)

1.1) Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen

Der Normalenvektor \(\vec{n}\) entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1,5) - (-2) \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1,5) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1.2) Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen

Als Aufpunkt der Normalenform übernehmen wir einfach den Aufpunkt der Parameterform.

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2,5 \end{pmatrix}\)

1.3) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2,5 \end{pmatrix}\right] = 0\)

2.1) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2,5 \end{pmatrix} = 0\)

2.2) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2,5 \end{pmatrix} = 0\)

\(2x_1 + 1,5x_2 + 1x_3 - (2 \cdot 0) - (1,5 \cdot 0) - (1 \cdot 2,5) = 0\)

\(2x_1 + 1,5x_2 + 1x_3 - 0 - 0 - 2,5 = 0\)

\(2x_1 + 1,5x_2 + x_3 - 2,5 = 0\)

Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

\(2x_1 + 1,5x_2 + x_3 - 2,5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 2x_1 + 1,5x_2 + x_3 = 2,5\)

Das Umwandeln der Parameterform in die Koordinatenform ist leider nicht ganz so einfach und bedarf einiger Übung. Wenn du aber bereits weißt, wie man die Parameterform in Normalenform umwandelt und die Normalenform in Koordinatenform, dann solltest du aber auch mit diesem Thema zurechtkommen.

Mehr zu diesem Thema...

Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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