Koordinatenform in Normalenform

Gerade: Koordinatenform in Normalenform
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

Das Umwandeln einer Geraden von der Koordinatenform in die Normalenform läuft so ab:

Die Normalenform einer Geraden lautet \(g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = 0\).
Um die Normalenform aufzustellen, brauchen wir also
- einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (Schritt 1)
- einen Aufpunkt \(\vec{a}\) (Schritt 2)

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Koordinatenform

\(g\colon\; 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\)

1) Normalenvektor \(\vec{n}\) ablesen

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\) in der Koordinatenform. Folglich gilt:

\({\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix}\)

2) Beliebigen Aufpunkt \(\vec{a}\) berechnen

Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Geraden verwenden.

Punkte, die auf der Geraden liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung \(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\) erfüllen.

Wenn wir z.B. für \(x_2\) gleich 1 einsetzen
\(4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0\)
\(4x_1 + 3 - 5 = 0\)
\(4x_1 - 2 = 0\)
und die Gleichung anschließend nach \(x_1\) auflösen, erhalten wir
\(4x_1 - 2 = 0 \quad |+2\)
\(4x_1 = 2 \quad :4\)
\(x_1 = 0,5\)

Der Punkt \((0{,}5|1)\) liegt folglich auf der Geraden. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen:

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in die Normalenform einsetzen

\(g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Hinweis

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen,
weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Ebene: Koordinatenform in Normalenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Koordinatenform in die Normalenform läuft so ab:

Die Normalenform einer Ebene lautet \(E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = 0\).
Um die Normalenform aufzustellen, brauchen wir also
- einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (Schritt 1)
- einen Aufpunkt \(\vec{a}\) (Schritt 2)

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform

\(E\colon\; 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0\)

1) Normalenvektor \(\vec{n}\) ablesen

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in der Koordinatenform. Folglich gilt:

\({\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 + {\color{red}2}x_3 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \\ {\color{red}2} \end{pmatrix}\)

2) Beliebigen Aufpunkt \(\vec{a}\) berechnen

Jetzt fehlt nur noch ein Aufpunkt. Einzige Bedingung ist, dass die Koordinaten des Aufpunkts die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen. Auf den ersten Blick sieht man, dass der Punkt \(A\) mit den Koordinaten \((0|1|1)\) die Ebenengleichung erfüllt:

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 5 = 0\)

3) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in die Normalenform einsetzen

\(E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Das Umwandeln der Koordinatenform in die Normalenform ist eigentlich gar nicht schwer: Der Normalenvektor lässt sich aus der Koordinatenform einfach ablesen und ein beliebiger Aufpunkt ist in der Regel auch schnell gefunden.

Mehr zu diesem Thema...

Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

	Schwierigkeit	Zwischenform
Parameterform in Normalenform	einfach	---
Normalenform in Koordinatenform	einfach	---
Parameterform in Koordinatenform	mittel	Normalform
Koordinatenform in Parameterform	mittel	---
Normalenform in Parameterform	schwer	Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform	einfach	---