Koordinatenform in Normalenform

Gerade: Koordinatenform in Normalenform
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

Das Umwandeln einer Geraden von der Koordinatenform in die Normalenform läuft so ab:

Die Normalenform einer Geraden lautet \(\text{g:} \, \, \, \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right]\).
Um die Normalenform aufzustellen, brauchen wir also
- einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (Schritt 1)
- einen Aufpunkt \(\vec{a}\) (Schritt 2)

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Koordinatenform

\(\text{g:} \quad 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\)

1.) Normalenvektor \(\vec{n}\) ablesen

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\) in der Koordinatenform. Folglich gilt:

\({\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix}\)

2.) Beliebigen Aufpunkt \(\vec{a}\) berechnen

Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Geraden verwenden.

Punkte, die auf der Geraden liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung \(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\) erfüllen.

Wenn wir z.B. für \(x_2\) gleich 1 einsetzen
\(4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0\)
\(4x_1 + 3 - 5 = 0\)
\(4x_1 - 2 = 0\)
und die Gleichung anschließend nach \(x_1\) auflösen, erhalten wir
\(4x_1 - 2 = 0 \quad |+2\)
\(4x_1 = 2 \quad :4\)
\(x_1 = 0,5\)

Der Punkt (0,5|1) liegt folglich auf der Geraden. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen:

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3.) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in die Normalenform einsetzen

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Hinweis

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen,
weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Ebene: Koordinatenform in Normalenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Koordinatenform in die Normalenform läuft so ab:

Die Normalenform einer Ebene lautet \(\text{E:} \, \, \, \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right]\).
Um die Normalenform aufzustellen, brauchen wir also
- einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (Schritt 1)
- einen Aufpunkt \(\vec{a}\) (Schritt 2)

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform

\(\text{E:} \quad 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0\)

1.) Normalenvektor \(\vec{n}\) ablesen

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in der Koordinatenform. Folglich gilt:

\({\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 + {\color{red}2}x_3 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \\ {\color{red}2} \end{pmatrix}\)

2.) Beliebigen Aufpunkt \(\vec{a}\) berechnen

Jetzt fehlt nur noch ein Aufpunkt. Einzige Bedingung ist, dass die Koordinaten des Aufpunkts die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen. Auf den ersten Blick sieht man, dass der Punkt A mit den Koordinaten (0|1|1) die Ebenengleichung erfüllt:

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 5 = 0\)

3.) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in die Normalenform einsetzen

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Das Umwandeln der Koordinatenform in die Normalenform ist eigentlich gar nicht schwer: Der Normalenvektor lässt sich aus der Koordinatenform einfach ablesen und ein beliebiger Aufpunkt ist in der Regel auch schnell gefunden.

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Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

	Schwierigkeit	Zwischenform
Parameterform in Normalenform	einfach	---
Normalenform in Koordinatenform	einfach	---
Parameterform in Koordinatenform	mittel	Normalform
Koordinatenform in Parameterform	mittel	---
Normalenform in Parameterform	schwer	Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform	einfach	---