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Schnittwinkel zweier Geraden

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man den Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wiederholung: Lagebeziehungen von Geraden

Wie wir im Kapitel "Lagebeziehungen von Geraden" bereits gelernt haben, gibt es vier mögliche Lagen zweier Geraden:

Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel sowie einen Schnittpunkt berechnen.

Empfehlenswert ist es, sich noch einmal den theoretischen Hintergrund zu diesem Thema bewusst zu machen:

Schnittwinkel zweier Geraden - Formel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden in Parameterform

\(\text{g}: \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)

\(\text{h}: \quad \vec{x} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v}\)

Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet

\[\text{cos }\varphi =  \frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} \qquad \rightarrow \qquad \varphi = cos^{-1}\left(\frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\right)\]

Vorgehensweise

  1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
  2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
  3. Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
  4. Formel nach \(\varphi\) auflösen

\(\text{g}\) und \(\text{h}\) schneiden sich senkrecht (d.h. im 90°-Winkel), wenn \(\vec{u}\circ\vec{v} = 0\) gilt.

Beispiel

Gegeben sind die beiden sich schneidenden Geraden

\[\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\text{h:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Geraden?

Um diese Aufgabe zu lösen, brauchen wir ausschließlich die beiden Richtungsvektoren. Zunächst berechnen wir das Skalarprodukt, danach die Länge der Vektoren.

1.) Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

\[\vec{u}\circ\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -3\]

2.) Länge der Richtungsvektoren berechnen

\[\left|\vec{u}\right| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\]

\[\left|\vec{v}\right| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]

3.) Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen

Die in Schritt 1 und 2 berechneten Zwischenergebnisse setzen wir nun in die Formel ein

\[\text{cos }\varphi = \frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\]

und erhalten somit

\[\text{cos }\varphi = \frac{\left|-3\right|}{3 \cdot \sqrt{3}}\]

Jetzt müssen wir noch die Betragsstriche im Zähler des Bruchs auflösen, d.h. dass das negative Vorzeichen verschwindet.

\[\text{cos }\varphi = \frac{\left|-3\right|}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{3}}\]

Der Bruch lässt sich noch kürzen,

\[\text{cos }\varphi = \frac{\cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

bevor man die Gleichung nach \(\varphi\) auflöst.

4.) Formel nach \(\varphi\) auflösen

\[\varphi = \text{cos}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54,74°\]

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt etwa 54,74° Grad.

Was ist der Schnittwinkel?

Wenn sich zwei Geraden schneiden, lassen sich stets zwei Winkel berechnen:

Wie du in der Abbildung erkennen kannst, gibt es zwei Schnittwinkel:

- einen spitzen Winkel \(\alpha\)
- einen stumpfen Winkel \(\beta\)

Merke: Addiert man den spitzen und den stumpfen Winkel, erhält man stets 180°.
Es gilt: \(\alpha + \beta = 180°\)

Sonderfall

Gilt \(\vec{u}\circ\vec{v} = 0\), beträgt der Schnittwinkel 90°.

Es handelt sich in diesem Fall um einen rechten Winkel.

Welcher Winkel ist gesucht?

Jetzt stellt sich natürlich die Frage, welcher dieser beiden Winkel der gesuchte Schnittwinkel ist.

Antwort: In der Regel wird der spitze Winkel gesucht!

Die Betragsstriche im Zähler sorgen dafür, dass du stets den spitzen Winkel erhälst.

\[\text{cos }\varphi = \frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\]

\[\text{cos }\varphi = \frac{\left|-3\right|}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

\[\varphi = \text{cos}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54,74°\]

Wenn du die Betragsstriche im Zähler weglässt, erhälst du den stumpfen Winkel.

\[\text{cos }\varphi = \frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\]

\[\text{cos }\varphi = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{\sqrt{3}}\]

\[\varphi = \text{cos}^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) \approx 125,26°\]

Es lässt sich leicht zeigen, dass die beiden Schnittwinkel zusammen 180° ergeben:

\(54,74° + 125,26 = 180°\)

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass du bei der Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden niemals die Betragsstriche im Zähler der Formel vergessen solltest. Nur auf diese Weise erhälst du am Ende den gesuchten spitzen Winkel.

Mehr zum Thema Geraden

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.

Darstellung von Geraden  
Parameterform  
Zwei-Punkte-Form  
Einfache Anwendungen  
Punkt auf Gerade  
Spurpunkte  
Lagebeziehungen von Geraden  
Einführung in die Lagebeziehungen  
> Identische Geraden  
> Echt parallele Geraden  
> Windschiefe Geraden  
> Sich schneidende Geraden  
>> Schnittpunkt zweier Geraden  
>> Schnittwinkel zweier Geraden  

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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