Lagebeziehung - identische Geraden
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man rechnerisch überprüft, ob es sich bei zwei Geraden um identische Geraden handelt. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.
Wiederholung: Lagebeziehungen von Geraden
Wie wir im Kapitel "Lagebeziehungen von Geraden" bereits gelernt haben, gibt es vier mögliche Lagen zweier Geraden:
- echt parallele Geraden
- identische Geraden
- windschiefe Geraden
- sich schneidende Geraden
Bedingungen für identische Geraden
- Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)
- Aufpunkt der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden
Hinweis: Grundsätzlich kann zur Überprüfung der zweiten Bedingung jeder Punkt der Geraden verwendet werden. Meist eignet sich jedoch für diese Aufgabe der Aufpunkt am besten, da man ihn nicht extra berechnen - sondern nur ablesen - muss.
Beispiel
Gegeben sind die beiden Geraden
\[\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]
\[\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]
1.) Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen
Im ersten Schritt untersuchen wir, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden kollinear, d.h. Vielfache voneinander, sind. Dazu überprüfen wir, ob es eine Zahl \(r\) gibt, mit der multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Geraden zum Richtungsvektor der ersten Geraden wird.
Ansatz: \(\vec{u} = r \cdot \vec{v}\)
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]
Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von \(r\):
\[\begin{align*}
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
2 &= r \cdot (-2) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1
\end{align*}\]
Wenn \(r\) in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Dies ist hier der Fall! Folglich handelt es sich entweder um identische Geraden oder um echt parallele Geraden. Um das herauszufinden, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden.
2.) Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?
Im zweiten Schritt untersuchen wir, ob der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g liegt. Dazu setzen wir den Aufpunkt mit der Geradengleichung von g gleich.
Ansatz: \(\vec{b} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)
\[ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von \(\lambda\):
\[\begin{align*}
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
4 &= 0 + \lambda \cdot 2 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2
\end{align*}\]
Wenn \(\lambda\) in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Geraden h auf der Geraden g. Dies ist hier der Fall! Folglich handelt es sich identische Geraden.
Mehr zum Thema Geraden
Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.
| Darstellung von Geraden | |
| Parameterform | |
| Zwei-Punkte-Form | |
| Einfache Anwendungen | |
| Punkt auf Gerade | |
| Spurpunkte | |
| Lagebeziehungen von Geraden | |
| Einführung in die Lagebeziehungen | |
| > Identische Geraden | |
| > Echt parallele Geraden | |
| > Windschiefe Geraden | |
| > Sich schneidende Geraden | |
| >> Schnittpunkt zweier Geraden | |
| >> Schnittwinkel zweier Geraden |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider