Lagebeziehung - identische Geraden

Beispiel

Gegeben sind die beiden Geraden

\[\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

1.) Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Im ersten Schritt untersuchen wir, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden kollinear, d.h. Vielfache voneinander, sind. Dazu überprüfen wir, ob es eine Zahl \(r\) gibt, mit der multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Geraden zum Richtungsvektor der ersten Geraden wird.

Ansatz: \(\vec{u} = r \cdot \vec{v}\)

\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von \(r\):

\[\begin{align*}
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
2 &= r \cdot (-2) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1
\end{align*}\]

Wenn \(r\) in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Dies ist hier der Fall! Folglich handelt es sich entweder um identische Geraden oder um echt parallele Geraden. Um das herauszufinden, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden.

2.) Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?

Im zweiten Schritt untersuchen wir, ob der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g liegt.  Dazu setzen wir den Aufpunkt mit der Geradengleichung von g gleich.

Ansatz: \(\vec{b} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)

\[ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von \(\lambda\):

\[\begin{align*}
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
4 &= 0 + \lambda \cdot 2 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2
\end{align*}\]

Wenn \(\lambda\) in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Geraden h auf der Geraden g. Dies ist hier der Fall! Folglich handelt es sich identische Geraden.

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Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.

Darstellung von Geraden
Parameterform
Zwei-Punkte-Form
Einfache Anwendungen
Punkt auf Gerade
Spurpunkte
Lagebeziehungen von Geraden
Einführung in die Lagebeziehungen
> Identische Geraden
> Echt parallele Geraden
> Windschiefe Geraden
> Sich schneidende Geraden
>> Schnittpunkt zweier Geraden
>> Schnittwinkel zweier Geraden