Geradengleichung - Parameterform
In diesem Kapitel besprechen wir die Geradengleichung in Parameterform.
Gegeben ist eine Gerade. Unser Ziel ist es, eine Formel für diese Gerade zu finden, damit wir mit der Geraden rechnen können.
Dazu wählt man zunächst einen Punkt der Geraden als Aufpunkt. In diesem Fall haben wir den Punkt \(A\) ausgewählt. Der zugehörige Ortsvektor heißt \(\vec{a}\).
Falls dir nicht klar ist, was ein Ortsvektor ist, solltest du den Artikel zur Berechnung eines Vektors zwischen zwei Punkten durchlesen.
Als Nächstes wählt man einen Richtungsvektor in Richtung der Geraden. In diesem Fall haben wir den Richtungsvektor \(\vec{u}\) ausgewählt.
Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt.
Die Geradengleichung in Parameterform lautet \[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\] Mit Hilfe von \(\vec{a}\) (Ortsvektor des Aufpunktes) und \(\vec{u}\) (Richtungsvektor) können wir jeden Punkt \(\vec{x}\) (Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunktes) auf der Geraden bestimmen.
Dabei ist \(\lambda\) der Parameter, der den Vektor \(\vec{u}\) verlängert, verkürzt oder seine Richtung ändert (vgl. Artikel über die Skalarmultiplikation), damit jeder Geradenpunkt \(\vec{x}\) beschrieben werden kann.
Man bezeichnet die Geradengleichung entweder als Geradengleichung in Parameterform (wegen \(\lambda\)) oder als Punkt-Richtungs-Gleichung (wegen \(A\) und \(\vec{u}\)).
Beispiel
Gegeben ist ein Punkt \(A(2|3|1)\) und ein Richtungsvektor
\[\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \]
Wie lautet die Geradengleichung in Parameterform (= Punkt-Richtungs-Gleichung)?
\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\]
\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\]
Merke
Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt.
Eine Geradengleichung in Parameterform lautet allgemein:
\(g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\).
Dabei ist \(\vec{x}\) ein beliebiger Punkt auf der Geraden, \(\vec{a}\) der Ortsvektor des Aufpunktes und \(\vec{u}\) der Richtungsvektor. \(\lambda\) ist ein Parameter, der den Richtungsvektor \(\vec{u}\) verlängert, verkürzt oder seine Richtung ändert.
Mehr zum Thema Geraden
Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.
| Darstellung von Geraden | |
| Parameterform | |
| Zwei-Punkte-Form | |
| Einfache Anwendungen | |
| Punkt auf Gerade | |
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| Einführung in die Lagebeziehungen | |
| > Identische Geraden | |
| > Echt parallele Geraden | |
| > Windschiefe Geraden | |
| > Sich schneidende Geraden | |
| >> Schnittpunkt zweier Geraden | |
| >> Schnittwinkel zweier Geraden |
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