Dabei ist \(\lambda\) der Parameter, der den Vektor \(\vec{u}\) verlängert, verkürzt oder seine Richtung ändert (vgl. Artikel über die Skalarmultiplikation), damit jeder Geradenpunkt \(\vec{x}\) beschrieben werden kann.

Man bezeichnet die Geradengleichung entweder als Geradengleichung in Parameterform (wegen \(\lambda\)) oder als Punkt-Richtungs-Gleichung (wegen \(A\) und \(\vec{u}\)).

Beispiel

Gegeben ist ein Punkt \(A(2|3|1)\) und ein Richtungsvektor

\[\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Wie lautet die Geradengleichung in Parameterform (= Punkt-Richtungs-Gleichung)?

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\]

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\]

Merke

Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt.

Eine Geradengleichung in Parameterform lautet allgemein:

\(g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\).

Dabei ist \(\vec{x}\) ein beliebiger Punkt auf der Geraden, \(\vec{a}\) der Ortsvektor des Aufpunktes und \(\vec{u}\) der Richtungsvektor. \(\lambda\) ist ein Parameter, der den Richtungsvektor \(\vec{u}\) verlängert, verkürzt oder seine Richtung ändert.