Ortsvektor
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Ortsvektor ist.
Notwendiges Vorwissen: Vektor
Problemstellung
In vielen Aufgabenstellungen geht es darum, die Koordinatendarstellung des Vektors, der zwei gegebene Punkte miteinander verbindet, zu bestimmen. Das ist besonders einfach, wenn der Anfangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung \(O(0|0)\) des Koordinatensystems liegt.
Definition eines Ortsvektors
Ein Vektor,
dessen Anfangspunkt im Ursprung \(O\) und
dessen Endpunkt im Punkt \(A\) liegt,
heißt Ortsvektor \(\overrightarrow{OA}\) von \(A\).
Jedem Punkt der Ebene oder des Raums lässt sich eindeutig ein Ortsvektor zuordnen.
Beispiel
Gegeben ist der Punkt \(A(3|2)\).
Gesucht ist der Ortsvektor von \(A\).
Der Vektor,
dessen Anfangspunkt im Ursprung \(O\) und
dessen Endpunkt in \(A\) liegt,
heißt Ortsvektor \(\overrightarrow{OA}\) von \(A\).
Ortsvektor berechnen
...die Überschrift lügt! Hier muss gar nichts berechnet werden!
\(A(x|y) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).
Beispiel (Fortsetzung)
\(A(3|2) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\).
Jeder Ortsvektor kann als spezieller Verbindungsvektor (mit Anfangspunkt \(O\)) gedeutet werden.
Vereinfachte Schreibweise
Wir können Schreibarbeit sparen, indem wir einen Ortsvektor einfach mit einem beliebigen kleinen Buchstaben bezeichnen. Der Verständlichkeit halber wird dazu jedoch meist der Endpunkt des Ortsvektors als Kleinbuchstabe verwendet.
Beispiele
\(\vec{{\color{red}a}} = \overrightarrow{O{\color{red}A}}\)
\(\vec{{\color{red}b}} = \overrightarrow{O{\color{red}B}}\)
\(\vec{{\color{red}p}} = \overrightarrow{O{\color{red}P}}\)
\(\vec{{\color{red}q}} = \overrightarrow{O{\color{red}Q}}\)
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider