Zwei Punkte Form

Zusammenfassend kann man sagen, dass man die Geradengleichung in Parameterform aus zwei Punkten sehr einfach bestimmen kann. Einer der beiden Punkte ist der Aufpunkt und ein Vektor zwischen den beiden Punkten ist der Richtungsvektor. Selbstverständlich beschreiben alle vier Möglichkeiten dieselbe Gerade, d.h. es ist egal, welche Möglichkeit du verwendest, um deine Geradengleichung aufzustellen.

Zwei Punkte Form im Überblick

An dieser Stelle wollen wir noch einmal alle vier Möglichkeiten festhalten, um mit Hilfe zweier Punkte eine Geradengleichung aufzustellen:

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right)\]

Beispiel

Gegeben sind die beiden Punkte \(A(3|2|3)\) und \(B(8|6|3)\).

Wie lautet die Geradengleichung in Parameterform (= Zwei Punkte Form)?

Hinweis: Wie oben bereits gezeigt, gibt es an dieser Stelle vier Möglichkeiten die Geradengleichung aufzustellen. Wir haben uns hier für Möglichkeit 1 entschieden.

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left(\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right) \]

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Damit haben wir eine Geradengleichung aus zwei Punkten (Zwei Punkte Form) aufgestellt.