Zwei-Punkte-Form

In diesem Kapitel besprechen wir die sog. Zwei-Punkte-Form. Dabei geht es um die Frage, wie man aus zwei gegebenen Punkten eine Geradengleichung in Parameterform aufstellt.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Herleitung

Um eine Geradengleichung in Parameterform aufzustellen, brauchen wir einen Punkt und einen Richtungsvektor.

Gegeben sind die beiden Punkte $A$ und $B$ bzw. ihre Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ . Welche Möglichkeiten gibt es, aus diesen beiden Punkten eine Geradengleichung aufzustellen?

Möglichkeit 1

Aufpunkt: $A$ bzw. $\vec{a}$

Richtungsvektor: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$$ \Rightarrow g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right) $$

Abb. 1 / Herleitung 1

Möglichkeit 2

Aufpunkt: $A$ bzw. $\vec{a}$

Richtungsvektor: $\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}$

$$ \Rightarrow g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right) $$

Abb. 2 / Herleitung 2

Möglichkeit 3

Aufpunkt: $B$ bzw. $\vec{b}$

Richtungsvektor: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$$ \Rightarrow g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right) $$

Abb. 3 / Herleitung 3

Möglichkeit 4

Aufpunkt: $B$ bzw. $\vec{b}$

Richtungsvektor: $\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}$

$$ \Rightarrow g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right) $$

Abb. 4 / Herleitung 4

Zusammenfassend kann man sagen, dass man die Geradengleichung in Parameterform aus zwei Punkten sehr einfach bestimmen kann. Einer der beiden Punkte ist der Aufpunkt und ein Vektor zwischen den beiden Punkten ist der Richtungsvektor. Selbstverständlich beschreiben alle vier Möglichkeiten dieselbe Gerade, d. h. es ist egal, welche Möglichkeit du verwendest, um deine Geradengleichung aufzustellen.

Parameterform aufstellen

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Punkte $A(3|2|3)$ und $B(8|6|3)$ .

Stelle eine Geradengleichung in Parameterform auf.

Hinweis: Wie oben bereits gezeigt, gibt es vier Möglichkeiten, eine Geradengleichung aus zwei Punkten aufzustellen. Wir haben uns hier für Möglichkeit 1 entschieden.

$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right) $$

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left(\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right) $$

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $$