Zwei Punkte Form

In diesem Kapitel besprechen wir die sog. Zwei Punkte Form. Dabei geht es um die Frage, wie man aus zwei gegebenen Punkten eine Geradengleichung in Parameterform aufstellt.

Es empfiehlt sich, zunächst die folgenden Kapitel zu wiederholen

Um eine Geradengleichung in Parameterform aufzustellen, brauchen wir einen Punkt und einen Richtungsvektor.

Gegeben sind die beiden Punkte \(A\) und \(B\) bzw. ihre Ortsvektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).
Welche Möglichkeiten gibt es, aus diesen beiden Punkten eine Geradengleichung aufzustellen?

Möglichkeit 1:

Aufpunkt: \(A\) bzw. \(\vec{a}\)
Richtungsvektor: \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

Möglichkeit 2:

Aufpunkt: \(A\) bzw. \(\vec{a}\)
Richtungsvektor: \(\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}\)

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right)\]

Möglichkeit 3:

Aufpunkt: \(B\) bzw. \(\vec{b}\)
Richtungsvektor: \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

Möglichkeit 4:

Aufpunkt: \(B\) bzw. \(\vec{b}\)
Richtungsvektor: \(\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}\)

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right)\]

Zusammenfassend kann man sagen, dass man die Geradengleichung in Parameterform aus zwei Punkten sehr einfach bestimmen kann. Einer der beiden Punkte ist der Aufpunkt und ein Vektor zwischen den beiden Punkten ist der Richtungsvektor. Selbstverständlich beschreiben alle vier Möglichkeiten dieselbe Gerade, d.h. es ist egal, welche Möglichkeit du verwendest, um deine Geradengleichung aufzustellen.

Zwei Punkte Form im Überblick

An dieser Stelle wollen wir noch einmal alle vier Möglichkeiten festhalten, um mit Hilfe zweier Punkte eine Geradengleichung aufzustellen:

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{b} + \lambda \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right)\]

Beispiel

Gegeben sind die beiden Punkte \(A(3|2|3)\) und \(B(8|6|3)\).

Wie lautet die Geradengleichung in Parameterform (= Zwei Punkte Form)?

Hinweis: Wie oben bereits gezeigt, gibt es an dieser Stelle vier Möglichkeiten die Geradengleichung aufzustellen. Wir haben uns hier für Möglichkeit 1 entschieden.

\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right)\]

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left(\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right) \]

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Damit haben wir eine Geradengleichung aus zwei Punkten (Zwei Punkte Form) aufgestellt.

Mehr zum Thema Geraden

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.

Darstellung von Geraden  
Parameterform  
Zwei-Punkte-Form  
Einfache Anwendungen  
Punkt auf Gerade  
Spurpunkte  
Lagebeziehungen von Geraden  
Einführung in die Lagebeziehungen  
> Identische Geraden  
> Echt parallele Geraden  
> Windschiefe Geraden  
> Sich schneidende Geraden  
>> Schnittpunkt zweier Geraden  
>> Schnittwinkel zweier Geraden  

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Andreas Schneider

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