Geradengleichung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Geradengleichungen. Dabei beschränken wir uns auf das Themengebiet der analytischen Geometrie. Wenn du auf der Suche nach einer Geradengleichung wie \(y = mx + t\) bist, dann schau dir unsere Sektion zu den linearen Funktionen an.

In der analytischen Geometrie gibt es folgende Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben:

  • Parameterform
  • Koordinatenform*
  • Normalenform* bzw. Hessesche Normalenform*

Die Koordinatenform, die Normalenform sowie die Hessesche Normalenform gibt es für Geraden nur im \(\mathbb{R}^2\). Begründung: Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es für eine Gerade keinen eindeutigen Normalenvektor. Die Parameterform kann hingegen auch Geraden im \(\mathbb{R}^3\) beschreiben, weshalb dies die häufigste Darstellungsform ist.

Parameterform einer Geraden

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)

Bedeutung

  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
  • \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
  • \(\vec{u}\): Richtungsvektor

Beispiel

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)

>> Im Kapitel Parameterform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Koordinatenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(ax_1 + bx_2 = c\)

Spezialfälle

  • \(a = 0\): Gerade verläuft parallel zur x-Achse
  • \(b = 0\): Gerade verläuft parallel zur y-Achse
  • \(c = 0\): die Gerade geht durch den Ursprung ("Ursprungsgerade")
  • \(c = 1\): die Geradengleichung liegt in Achsenabschnittsform vor,
    d.h. die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen lassen sich ablesen
    \(\rightarrow\) Schnittpunkt mit der x-Achse bei (1/a | 0)
    \(\rightarrow\) Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0 | 1/b)

Beispiele

\(5x - 3y = 7\)

\(2x_1 + 4x_2 = 9\)

In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen \(x_1\) und \(x_2\), wohingegen man in der Analysis eher die Variablen \(x\) und \(y\) verwendet.

Normalenvektor ablesen

Der Normalenvektor ist ein Vektor, der auf der Geraden senkrecht steht.

Liegt die Gerade in Koordinatenform vor, lassen sich die Koordinaten des Normalenvektors einfach ablesen: Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\).

Der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Geraden

\(2x_1 + 4x_2 = 9\)

lautet folglich

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)

>> Im Kapitel Koordinatenform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Normalenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

>> Im Kapitel Normalenform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Hessesche Normalform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(\text{g:} \quad \vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
  • \(\vec{n}_0\): normierter Normalenvektor (oder Normaleneinheitsvektor)
    Es gilt: \(\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)
  • \(|\vec{n}|\): Länge des Normalenvektors
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel (Normalenform gegeben)

Gerade in Normalenform

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\)

Gerade in Hessescher Normalform

\(\text{g:} \quad \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Beispiel (Koordinatenform gegeben)

Gerade in Koordinatenform

\(\text{g:} \quad 4x_1 - 3x_2 - 5 = 0\)

Hinweis:
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\).

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\)

Gerade in Hessescher Normalform

\(\text{g:} \quad \frac{1}{5} \cdot [4x_1 - 3x_2 - 5] = 0\)

>> Im Kapitel Hessesche Normalform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Geradengleichungen umformen

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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