Geradengleichung
In diesem Kapitel schauen wir uns Geradengleichungen in der analytischen Geometrie an. Das Thema Geradengleichungen in der Analysis ($\boldsymbol{y = mx + t}$) besprechen wir im Kapitel zu den linearen Funktionen.
Überblick
In der analytischen Geometrie gibt es vier Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben:
- Parameterform
- Koordinatenform
- Normalenform
- Hessesche Normalenform
Die Koordinatenform, die Normalenform sowie die Hessesche Normalenform gibt es für Geraden nur im $\mathbb{R}^2$. Begründung: Im $\mathbb{R}^3$ gibt es für eine Gerade keinen eindeutigen Normalenvektor. Die Parameterform kann hingegen auch Geraden im $\mathbb{R}^3$ beschreiben, weshalb das die häufigste Darstellungsform ist.
Parameterform
$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$
Bedeutung
$g$: Bezeichnung der Gerade$\vec{x}$: Punkt der Gerade$\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)$\lambda$: Parameter (Lambda
)$\vec{u}$: Richtungsvektor
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Weiterführende Informationen
Koordinatenform
$$ ax_1 + bx_2 = c $$
In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen $x_1$ und $x_2$, wohingegen man in der Analysis eher die Variablen $x$ und $y$ verwendet.
Weiterführende Informationen
Normalenform
$$ g\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$
Bedeutung
$\vec{g}$: Bezeichnung der Gerade$\vec{n}$: Normalenvektor (Vektor, der senkrecht auf der Gerade steht)$\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)
$$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Weiterführende Informationen
Hessesche Normalform
$$ g\colon\; \vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$
Bedeutung
$\vec{n}$: Normalenvektor (Vektor, der auf einer Gerade senkrecht steht)$\vec{n}_0$: Normierter Normalenvektor (Normalenvektor der Länge 1)
Es gilt:$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$$|\vec{n}|$: Länge des Normalenvektors$\vec{a}$: Aufpunkt (oder Stützvektor)
$$ g\colon\; \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Weiterführende Informationen
Geradengleichungen umformen
| Schwierigkeit | Zwischenform | |
|---|---|---|
| Parameterform in Normalenform | einfach | — |
| Normalenform in Koordinatenform | einfach | — |
| Parameterform in Koordinatenform | mittel | Normalenform |
| Koordinatenform in Parameterform | mittel | — |
| Normalenform in Parameterform | schwer | Koordinatenform |
| Koordinatenform in Normalenform | einfach | — |
