Geradengleichung

In diesem Kapitel schauen wir uns Geradengleichungen in der analytischen Geometrie an. Das Thema Geradengleichungen in der Analysis ($\boldsymbol{y = mx + t}$) besprechen wir im Kapitel zu den linearen Funktionen.

Überblick 

In der analytischen Geometrie gibt es vier Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben:

  • Parameterform
  • Koordinatenform
  • Normalenform
  • Hessesche Normalenform

Die Koordinatenform, die Normalenform sowie die Hessesche Normalenform gibt es für Geraden nur im $\mathbb{R}^2$. Begründung: Im $\mathbb{R}^3$ gibt es für eine Gerade keinen eindeutigen Normalenvektor. Die Parameterform kann hingegen auch Geraden im $\mathbb{R}^3$ beschreiben, weshalb das die häufigste Darstellungsform ist.

Parameterform 

$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$

Bedeutung

  • $g$: Bezeichnung der Gerade
  • $\vec{x}$: Punkt der Gerade
  • $\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)
  • $\lambda$: Parameter (Lambda)
  • $\vec{u}$: Richtungsvektor

Beispiel 1 

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Weiterführende Informationen

Parameterform

Koordinatenform 

$$ ax_1 + bx_2 = c $$

Beispiel 2 

$$ 2x_1 + 4x_2 = 9 $$

Beispiel 3 

$$ 5x - 3y = 7 $$

In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen $x_1$ und $x_2$, wohingegen man in der Analysis eher die Variablen $x$ und $y$ verwendet.

Weiterführende Informationen

Koordinatenform

Normalenform 

$$ g\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$

Bedeutung

  • $\vec{g}$: Bezeichnung der Gerade
  • $\vec{n}$: Normalenvektor (Vektor, der senkrecht auf der Gerade steht)
  • $\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)

Beispiel 4 

$$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$

Weiterführende Informationen

Normalenform

Hessesche Normalform 

$$ g\colon\; \vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$

Bedeutung

  • $\vec{n}$: Normalenvektor (Vektor, der auf einer Gerade senkrecht steht)
  • $\vec{n}_0$: Normierter Normalenvektor (Normalenvektor der Länge 1)
    Es gilt: $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$
  • $|\vec{n}|$: Länge des Normalenvektors
  • $\vec{a}$: Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel 5 

$$ g\colon\; \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$

Beispiel 6 

$$ g\colon\; \frac{1}{5} \cdot [4x_1 - 3x_2 - 5] = 0 $$

Weiterführende Informationen

Hessesche Normalform

Geradengleichungen umformen 

SchwierigkeitZwischenform
Parameterform in Normalenformeinfach
Normalenform in Koordinatenformeinfach
Parameterform in KoordinatenformmittelNormalenform
Koordinatenform in Parameterformmittel
Normalenform in ParameterformschwerKoordinatenform
Koordinatenform in Normalenformeinfach

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