Geradengleichung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Geradengleichungen. Dabei beschränken wir uns auf das Themengebiet der analytischen Geometrie. Wenn du auf der Suche nach einer Geradengleichung wie \(y = mx + t\) bist, dann schau dir unsere Sektion zu den linearen Funktionen an.

In der analytischen Geometrie gibt es folgende Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben:

  • Parameterform
  • Koordinatenform*
  • Normalenform* bzw. Hessesche Normalenform*

Die Koordinatenform, die Normalenform sowie die Hessesche Normalenform gibt es für Geraden nur im \(\mathbb{R}^2\). Begründung: Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es für eine Gerade keinen eindeutigen Normalenvektor. Die Parameterform kann hingegen auch Geraden im \(\mathbb{R}^3\) beschreiben, weshalb dies die häufigste Darstellungsform ist.

Parameterform einer Geraden

\(g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)

Bedeutung

  • \(g\): Name der Geraden
  • \(\vec{x}\): Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunktes
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)
  • \(\lambda\): Parameter ("Lambda")
  • \(\vec{u}\): Richtungsvektor

Beispiel

\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)

>> Im Kapitel Parameterform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Koordinatenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(ax_1 + bx_2 = c\)

Spezialfälle

  • \(a = 0\): Gerade verläuft parallel zur \(x\)-Achse
  • \(b = 0\): Gerade verläuft parallel zur \(y\)-Achse
  • \(c = 0\): die Gerade geht durch den Ursprung ("Ursprungsgerade")
  • \(c = 1\): die Geradengleichung liegt in Achsenabschnittsform vor,
    d.h. die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen lassen sich ablesen
    \(\rightarrow\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \((1/a|0)\)
    \(\rightarrow\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0|1/b)\)

Beispiele

\(5x - 3y = 7\)

\(2x_1 + 4x_2 = 9\)

In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen \(x_1\) und \(x_2\), wohingegen man in der Analysis eher die Variablen \(x\) und \(y\) verwendet.

Normalenvektor ablesen

Der Normalenvektor ist ein Vektor, der auf der Geraden senkrecht steht.

Liegt die Gerade in Koordinatenform vor, lassen sich die Koordinaten des Normalenvektors einfach ablesen: Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\).

Der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Geraden

\(2x_1 + 4x_2 = 9\)

lautet folglich

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)

>> Im Kapitel Koordinatenform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Normalenform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(g\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel

\(g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

>> Im Kapitel Normalenform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Hessesche Normalform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(g\colon\; \vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
  • \(\vec{n}_0\): normierter Normalenvektor (oder Normaleneinheitsvektor)
    Es gilt: \(\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)
  • \(|\vec{n}|\): Länge des Normalenvektors
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel (Normalenform gegeben)

Gerade in Normalenform

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\)

Gerade in Hessescher Normalform

\(g\colon\; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Beispiel (Koordinatenform gegeben)

Gerade in Koordinatenform

\(g\colon\; 4x_1 - 3x_2 - 5 = 0\)

Hinweis:
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\).

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\)

Gerade in Hessescher Normalform

\(g\colon\; \frac{1}{5} \cdot [4x_1 - 3x_2 - 5] = 0\)

>> Im Kapitel Hessesche Normalform erfährst du mehr zu diesem Thema... <<<

Geradengleichungen umformen

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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