Spurpunkte
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Spurpunkten.
Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.
Dieses Thema besprechen wir anhand eines ausführlichen Beispiels:
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform
\[g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\]
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt (\(x_2x_3\), \(x_1x_3\) und \(x_1x_2\)), lassen sich drei Spurpunkte berechnen.
- \(S_1\) ist der Schnittpunkt von Gerade und \(x_2x_3\)-Ebene
- \(S_2\) ist der Schnittpunkt von Gerade und \(x_1x_3\)-Ebene
- \(S_3\) ist der Schnittpunkt von Gerade und \(x_1x_2\)-Ebene
Beispiel: Spurpunkte berechnen
Gegeben ist die Gerade \(g\)
\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]
Unsere Aufgabe ist es, alle Spurpunkte zu berechnen.
Vorgehensweise: Spurpunkt \(S_i\) berechnen
- i-te Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und den dazugehörigen Parameter \(\lambda\) berechnen
- \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten
Spurpunkt \(S_1\) berechnen
Der Spurpunkt \(S_1\) ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \(x_2x_3\)-Ebene.
Die \(x_1\)-Koordinate von \(S_1\) ist gleich Null: \(S_1(0|?|?)\).
1) \(x_1 = 0\) in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen
\[1 + \lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = -1\]
2) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen
\[g\colon\; \vec{s_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}\]
Antwort: Der Spurpunkt \(S_1\) hat die Koordinaten \((0|{-6}|5)\).
Spurpunkt \(S_2\) berechnen
Der Spurpunkt \(S_2\) ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \(x_1x_3\)-Ebene.
Die \(x_2\)-Koordinate von \(S_2\) ist gleich Null: \(S_2(?|0|?)\).
1) \(x_2 = 0\) in die zweite Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen
\[-4 + 2\lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 2\]
2) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen
\[g\colon\; \vec{s_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]
Antwort: Der Spurpunkt \(S_2\) hat die Koordinaten \((3|0|2)\).
Spurpunkt \(S_3\) berechnen
Der Spurpunkt \(S_3\) ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \(x_1x_2\)-Ebene.
Die \(x_3\)-Koordinate von \(S_3\) ist gleich Null: \(S_3(?|?|0)\).
1) \(x_3 = 0\) in die dritte Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen
\[4 - \lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 4\]
2) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen
\[g\colon\; \vec{s_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Antwort: Der Spurpunkt \(S_3\) hat die Koordinaten \((5|4|0)\).
Mehr zum Thema Geraden
Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.
| Darstellung von Geraden | |
| Parameterform | |
| Zwei-Punkte-Form | |
| Einfache Anwendungen | |
| Punkt auf Gerade | |
| Spurpunkte | |
| Lagebeziehungen von Geraden | |
| Einführung in die Lagebeziehungen | |
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