Spurpunkte
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Spurpunkten.
Definition
Der Schnittpunkt einer Gerade mit einer Koordinatenebene heißt Spurpunkt.
$S_1$ist der Schnittpunkt einer Gerade mit der$x_2x_3$-Ebene$S_2$ist der Schnittpunkt einer Gerade mit der$x_1x_3$-Ebene$S_3$ist der Schnittpunkt einer Gerade mit der$x_1x_2$-Ebene
Anleitung
Die Berechnung des Spurpunktes $S_i$ läuft folgendermaßen ab:
$\boldsymbol{i}$-te Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und den dazugehörigen Parameter $\boldsymbol{\lambda}$ berechnen
$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten
Beispiele
Gegeben ist die Gerade
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Berechne den Spurpunkt $S_1$.
Der Spurpunkt $S_1$ ist der Schnittpunkt der Gerade mit der $x_2x_3$-Ebene.
Die $x_1$-Koordinate von $S_1$ ist gleich Null: $S_1(0|?|?)$.
$\boldsymbol{x_1 = 0}$ in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $\boldsymbol{\lambda}$ zu berechnen
$$ 1 + \lambda = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = -1 $$
$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen
$$ g\colon\; \vec{s_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Der Spurpunkt $S_1$ hat die Koordinaten $(0|{-6}|5)$.
Gegeben ist die Gerade
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Berechne den Spurpunkt $S_2$.
Der Spurpunkt $S_2$ ist der Schnittpunkt der Gerade mit der $x_1x_3$-Ebene.
Die $x_2$-Koordinate von $S_2$ ist gleich Null: $S_2(?|0|?)$.
$\boldsymbol{x_2 = 0}$ in die zweite Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $\boldsymbol{\lambda}$ zu berechnen
$$ -4 + 2\lambda = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 2 $$
$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen
$$ g\colon\; \vec{s_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Der Spurpunkt $S_2$ hat die Koordinaten $(3|0|2)$.
Gegeben ist die Gerade
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Berechne den Spurpunkt $S_3$.
Der Spurpunkt $S_3$ ist der Schnittpunkt der Gerade mit der $x_1x_2$-Ebene.
Die $x_3$-Koordinate von $S_3$ ist gleich Null: $S_3(?|?|0)$.
$\boldsymbol{x_3 = 0}$ in die dritte Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $\boldsymbol{\lambda}$ zu berechnen
$$ 4 - \lambda = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 4 $$
$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen
$$ g\colon\; \vec{s_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Der Spurpunkt $S_3$ hat die Koordinaten $(5|4|0)$.
