Spurpunkte

Beispiel: Spurpunkte berechnen

Gegeben ist die Gerade \(g\)

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Unsere Aufgabe ist es, alle Spurpunkte zu berechnen.

Spurpunkt \(S_1\) berechnen

Die \(x_1\)-Koordinate von \(S_1\) ist gleich Null: \(S_1(0|?|?)\).

1) \(x_1 = 0\) in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen

\[1 + \lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = -1\]

2) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

\[g\colon\; \vec{s_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}\]

Antwort: Der Spurpunkt \(S_1\) hat die Koordinaten \((0|{-6}|5)\).

Spurpunkt \(S_2\) berechnen

Die \(x_2\)-Koordinate von \(S_2\) ist gleich Null: \(S_2(?|0|?)\).

1) \(x_2 = 0\) in die zweite Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen

\[-4 + 2\lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 2\]

2) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

\[g\colon\; \vec{s_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Antwort: Der Spurpunkt \(S_2\) hat die Koordinaten \((3|0|2)\).

Spurpunkt \(S_3\) berechnen

Die \(x_3\)-Koordinate von \(S_3\) ist gleich Null: \(S_3(?|?|0)\).

1) \(x_3 = 0\) in die dritte Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen

\[4 - \lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 4\]

2) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

\[g\colon\; \vec{s_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Antwort: Der Spurpunkt \(S_3\) hat die Koordinaten \((5|4|0)\).