Liegt ein Punkt auf einer Geraden?

In diesem Kapitel lernen wir, wie man überprüft, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.

Dieses Thema besprechen wir anhand eines ausführlichen Beispiels:

Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform

\[\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

sowie die beiden Punkte A (6|5|5) und B (1|2,5|3).

Überprüfe, ob die Punkte auf der Geraden liegen.

Vorgehensweise

  1. Den jeweiligen Punkt für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen
  2. Gleichungssystem aufstellen
  3. Zeilenweise (!) den Wert des Parameters \(\lambda\) berechnen
    \(\rightarrow\) Ist der Wert von \(\lambda\) in jeder Zeile gleich, liegt der Punkt auf der Geraden

Liegt der Punkt A auf der Geraden?

1.) Punkt A für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen

\[\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

2.) Gleichungssystem aufstellen

\[\begin{align*}
6 &= 2 + 2\lambda \\
5 &= 3 + \lambda \\
5 &= 1 + 2\lambda
\end{align*}\]

3.) \(\lambda\) zeilenweise berechnen

\[\begin{align*}
6 &= 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
5 &= 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
5 &= 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2
\end{align*}\]

Fazit

Da \(\lambda\) in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt auf der Geraden.

Liegt der Punkt B auf der Geraden?

1.) Punkt B für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 2,5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

2.) Gleichungssystem aufstellen

\[\begin{align*}
1 = 2 + 2\lambda \\
2,5 = 3 + \lambda \\
3 = 1 + 2\lambda
\end{align*}\]

3.) \(\lambda\) zeilenweise berechnen

\[\begin{align*}
1 = 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0,5 \\
2,5 = 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0,5 \\
3 = 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 1
\end{align*}\]

Fazit

Da \(\lambda\) nicht in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt nicht auf der Geraden.

Mehr zum Thema Geraden

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.

Darstellung von Geraden  
Parameterform  
Zwei-Punkte-Form  
Einfache Anwendungen  
Punkt auf Gerade  
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Lagebeziehungen von Geraden  
Einführung in die Lagebeziehungen  
> Identische Geraden  
> Echt parallele Geraden  
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> Sich schneidende Geraden  
>> Schnittpunkt zweier Geraden  
>> Schnittwinkel zweier Geraden  
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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