Liegt ein Punkt auf einer Gerade?
In diesem Kapitel lernen wir, wie man überprüft, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt.
Anleitung
Punkt für $\boldsymbol{\vec{x}}$ in die Geradengleichung einsetzen
Gleichungssystem aufstellen
$\boldsymbol{\lambda}$ zeilenweise berechnen
Ist der Wert von $\lambda$ in jeder Zeile gleich, liegt der Punkt auf der Gerade.
Beispiele
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Überprüfe, ob der Punkt $A(6|5|5)$ auf der Gerade liegt.
Punkt für $\boldsymbol{\vec{x}}$ in die Geradengleichung einsetzen
$$ \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Gleichungssystem aufstellen
$$ \begin{align*} 6 &= 2 + 2\lambda \\ 5 &= 3 + \lambda \\ 5 &= 1 + 2\lambda \end{align*} $$
$\boldsymbol{\lambda}$ zeilenweise berechnen
$$ \begin{align*} 6 &= 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\ 5 &= 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\ 5 &= 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \end{align*} $$
Fazit
Da $\lambda$ in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt auf der Gerade.
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Überprüfe, ob der Punkt $B(1|2{,}5|3)$ auf der Gerade liegt.
Punkt für $\boldsymbol{\vec{x}}$ in die Geradengleichung einsetzen
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Gleichungssystem aufstellen
$$ \begin{align*} 1 = 2 + 2\lambda \\ 2{,}5 = 3 + \lambda \\ 3 = 1 + 2\lambda \end{align*} $$
$\boldsymbol{\lambda}$ zeilenweise berechnen
$$ \begin{align*} 1 = 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0{,}5 \\ 2{,}5 = 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0{,}5 \\ 3 = 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 1 \end{align*} $$
Fazit
Da $\lambda$ nicht in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt nicht auf der Gerade.
