Liegt ein Punkt auf einer Geraden?
In diesem Kapitel lernen wir, wie man überprüft, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.
Dieses Thema besprechen wir anhand eines ausführlichen Beispiels:
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform
\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]
sowie die beiden Punkte \(A(6|5|5)\) und \(B(1|2{,}5|3)\).
Überprüfe, ob die Punkte auf der Geraden liegen.
Vorgehensweise
- Den jeweiligen Punkt für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen
- Gleichungssystem aufstellen
- Zeilenweise (!) den Wert des Parameters \(\lambda\) berechnen
\(\rightarrow\) Ist der Wert von \(\lambda\) in jeder Zeile gleich, liegt der Punkt auf der Geraden
Liegt der Punkt A auf der Geraden?
1.) Punkt \(A\) für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen
\[\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]
2.) Gleichungssystem aufstellen
\[\begin{align*}
6 &= 2 + 2\lambda \\
5 &= 3 + \lambda \\
5 &= 1 + 2\lambda
\end{align*}\]
3.) \(\lambda\) zeilenweise berechnen
\[\begin{align*}
6 &= 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
5 &= 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
5 &= 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2
\end{align*}\]
Fazit
Da \(\lambda\) in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt auf der Geraden.
Liegt der Punkt B auf der Geraden?
1.) Punkt \(B\) für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen
\[\begin{pmatrix} 1 \\ 2,5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]
2.) Gleichungssystem aufstellen
\[\begin{align*}
1 = 2 + 2\lambda \\
2,5 = 3 + \lambda \\
3 = 1 + 2\lambda
\end{align*}\]
3.) \(\lambda\) zeilenweise berechnen
\[\begin{align*}
1 = 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0,5 \\
2,5 = 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0,5 \\
3 = 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 1
\end{align*}\]
Fazit
Da \(\lambda\) nicht in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt nicht auf der Geraden.
Mehr zum Thema Geraden
Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.
| Darstellung von Geraden | |
| Parameterform | |
| Zwei-Punkte-Form | |
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| Punkt auf Gerade | |
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| Lagebeziehungen von Geraden | |
| Einführung in die Lagebeziehungen | |
| > Identische Geraden | |
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