Liegt ein Punkt auf einer Geraden?

Liegt der Punkt A auf der Geraden?

1.) Punkt A für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen

\[\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

2.) Gleichungssystem aufstellen

\[\begin{align*}
6 &= 2 + 2\lambda \\
5 &= 3 + \lambda \\
5 &= 1 + 2\lambda
\end{align*}\]

3.) \(\lambda\) zeilenweise berechnen

\[\begin{align*}
6 &= 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
5 &= 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
5 &= 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2
\end{align*}\]

Fazit

Da \(\lambda\) in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt auf der Geraden.

Liegt der Punkt B auf der Geraden?

1.) Punkt B für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 2,5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

2.) Gleichungssystem aufstellen

\[\begin{align*}
1 = 2 + 2\lambda \\
2,5 = 3 + \lambda \\
3 = 1 + 2\lambda
\end{align*}\]

3.) \(\lambda\) zeilenweise berechnen

\[\begin{align*}
1 = 2 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0,5 \\
2,5 = 3 + \lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = -0,5 \\
3 = 1 + 2\lambda \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 1
\end{align*}\]

Fazit

Da \(\lambda\) nicht in jeder Zeile des Gleichungssystems denselben Wert annimmt, befindet sich der Punkt nicht auf der Geraden.

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Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.

Darstellung von Geraden
Parameterform
Zwei-Punkte-Form
Einfache Anwendungen
Punkt auf Gerade
Spurpunkte
Lagebeziehungen von Geraden
Einführung in die Lagebeziehungen
> Identische Geraden
> Echt parallele Geraden
> Windschiefe Geraden
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>> Schnittpunkt zweier Geraden
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