Lagebeziehungen von Geraden

Beispiel 1 - identische Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[h\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

1) Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Im ersten Schritt untersuchen wir, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden kollinear, d.h. Vielfache voneinander, sind. Dazu überprüfen wir, ob es eine Zahl \(r\) gibt, mit der multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Geraden zum Richtungsvektor der ersten Geraden wird.

Ansatz: \(\vec{u} = r \cdot \vec{v}\)

\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von \(r\):

\[\begin{align*}
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
2 &= r \cdot (-2) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1
\end{align*}\]

Wenn \(r\) in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Dies ist hier der Fall! Folglich handelt es sich entweder um identische Geraden oder um echt parallele Geraden. Um das herauszufinden, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden.

2) Liegt der Aufpunkt der Geraden \(h\) in der Geraden \(g\)?

Im zweiten Schritt untersuchen wir, ob der Aufpunkt der Geraden \(h\) in der Geraden \(g\) liegt. Dazu setzen wir den Aufpunkt mit der Geradengleichung von \(g\) gleich.

Ansatz: \(\vec{b} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\)

\[ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von \(\lambda\):

\[\begin{align*}
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
4 &= 0 + \lambda \cdot 2 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2
\end{align*}\]

Wenn \(\lambda\) in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Geraden \(h\) auf der Geraden \(g\). Dies ist hier der Fall! Folglich handelt es sich identische Geraden.

Beispiel 2 - echt parallele Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[h\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

1) Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

\[\begin{align*}
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
2 &= r \cdot (-2) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1 \\
1 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -1
\end{align*}\]

Da die Richtungsvektoren kollinear sind, handelt es sich entweder um identische oder um echt parallele Geraden. Um das herauszufinden, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden.

2) Liegt der Aufpunkt der Geraden \(h\) in der Geraden \(g\)?

\[ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\begin{align*}
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2 \\
2 &= 0 + \lambda \cdot 2 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 1 \\
4 &= 2 + \lambda \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad \lambda = 2
\end{align*}\]

\(\lambda\) nimmt hier unterschiedliche Werte an. Demzufolge handelt es sich um echt parallele Geraden.

Beispiel 3 - sich schneidende Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden

\[g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[h\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

1) Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\begin{align*}
2 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -2 \\
2 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -2 \\
1 &= r \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad r = 1
\end{align*}\]

Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, handelt es sich entweder zwei sich schneidende Geraden oder um windschiefe Geraden. Um das herauszufinden, überprüfen wir rechnerisch, ob ein Schnittpunkt existiert.

2) Auf Schnittpunkt prüfen

Vorgehensweise

1. Geradengleichungen gleichsetzen
2. Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) durch das Additionsverfahren berechnen
3. Berechnete Parameter in die verbleibende Gleichung einsetzen

Es empfiehlt sich, an dieser Stelle noch einmal das Additionsverfahren zu wiederholen.

• Schritt 1: Geradengleichungen gleichsetzen

\[\vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v}\]

\[\begin{align*}
-3 + 2\lambda &= 4 - \mu \tag{1. Zeile} \\
-4 + 2\lambda &= 3 - \mu \tag{2. Zeile} \\
-1 + \lambda &= 1 + \mu \tag{3. Zeile}
\end{align*}\]

• Schritt 2: Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) durch das Additionsverfahren berechnen

Zum Berechnen der beiden Parameter braucht man nur zwei Zeilen (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten). Die verbleibende dritte Zeile dient im 3. Schritt dazu, die Existenz eines Schnittpunktes ggf. zu bestätigen.

Wir addieren die 2. mit der 3. Zeile, damit \(\mu\) wegfällt...

\[-5 + 3\lambda = 4 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 3 \tag{2. Zeile + 3. Zeile}\]

...auf diese Weise können wir \(\lambda\) berechnen.

Danach setzen wir \(\lambda = 3\) in die 3. Zeile ein, um \(\mu\) zu berechnen.

\[-1 + 3 = 1 + \mu \qquad \rightarrow \qquad \mu = 1 \tag{3. Zeile mit \(\lambda = 3\)}\]

• Schritt 3: Berechnete Parameter in die verbleibende Gleichung einsetzen

Die beiden Parameter haben wir mit Hilfe der 2. und der 3. Zeile berechnet. Zur Überprüfung der Existenz eines Schnittpunktes bleibt demnach die 1. Zeile übrig. In diese setzen wir die berechneten Parameter ein.

\[-3 + 6 = 4 - 1 \qquad \rightarrow \qquad 3=3 \tag{1. Zeile mit \(\lambda = 3\) und \(\mu = 1\)}\]

• Schritt 4: Überprüfen, ob es sich um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt

1. Ist die Aussage wahr, gibt es einen Schnittpunkt.
2. Ist die Aussage falsch, sind die Geraden windschief.

Fazit

Da es sich in unserem Beispiel um eine wahre Aussage (\(3 = 3\)) handelt, gibt es einen Schnittpunkt. Daraus folgt, dass es sich um zwei sich schneidende Geraden handelt.

Käme man an dieser Stelle zu einer falschen Aussage (z.B. \(5 = 0\)), wären die Geraden windschief. Ein entsprechendes Beispiel findest du in dem Artikel zu den windschiefen Geraden.

Wie man die Koordinaten des Schnittspunkts der beiden Geraden berechnet, erklären wir in einem eigenen Artikel.