Gradmaß in Bogenmaß

In diesem Kapitel schauen wir uns die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß an.

Problemstellung

Gegeben: Winkelgröße im Gradmaß

Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß

Vereinbarung

Um die Winkelgröße im Gradmaß von der im Bogenmaß unterscheiden zu können, bezeichnen wir im Folgenden die Winkelgröße im Gradmaß mit \(\alpha\) und die Winkelgröße im Bogenmaß mit \(x\).

Herleitung der Umrechnungsformel

Im Gradmaß ist der Vollwinkel \(360^\circ\) groß.

Im Bogenmaß ist der Vollwinkel \(2\pi\) groß.

Diese Erkenntisse führen uns zu folgender Beziehung: „\(\alpha\) verhält sich zu \(360^\circ\) wie \(x\) zu \(2\pi\)“.
Wenn wir das in die Sprache der Mathematik übersetzen, erhalten wir eine Verhältnisgleichung.

1.) Verhältnisgleichung aufstellen

\[\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{x}{2\pi}\]

Da die Winkelgröße im Bogenmaß, also \(x\), gesucht ist, müssen wir die Verhältnisgleichung nach \(x\) auflösen. Dazu führen wir einige einfache Äquivalenzumformungen durch.

2.) Verhältnisgleichung nach \(x\) auflösen

\begin{align*}
\frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{x}{2\pi} &&{\color{gray}| \cdot 2\pi}\\[5pt]
\frac{\alpha}{360^\circ} {\color{gray}\:\cdot\:2\pi} &= \frac{x}{2\pi} {\color{gray}\:\cdot\:2\pi} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen vorbereiten: } 360^\circ = 2 \cdot 180^\circ}\\[5pt]
\frac{\alpha}{{\color{gray}2 \cdot 180^\circ}} \cdot 2\pi &= \frac{x}{2\pi} \cdot 2\pi &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
\frac{\alpha}{{\color{gray}\cancel{2}} \cdot 180^\circ} {\color{gray}\:\cdot\:\cancel{2}} \pi &= \frac{x}{{\color{gray}\cancel{2\pi}}} {\color{gray}\:\cdot\:\cancel{2\pi}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi &= x &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x &= \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi &&{\color{gray}|\: \alpha \text{ und } \pi \text{ vertauschen}}\\[5pt]
x &= \frac{{\color{gray}\pi}}{180^\circ} \cdot {\color{gray}\alpha}
\end{align*}

Umrechnungsformel: Gradmaß \(\rightarrow\) Bogenmaß

\[x = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha\]

Ist \(\alpha\) als natürliche Zahl gegeben, können wir versuchen, den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, indem wir eine Primfaktorzerlegung durchführen und kürzen.

Beispiel 1

Gegeben: \(\alpha = 60^\circ\)

Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß

Lösungsweg

\begin{align*}
x
&= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha &&{\color{gray}|\text{ Für } \alpha \text{ gleich } 60^\circ \text{ einsetzen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 60^\circ &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ}} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{3}
\end{align*}

Antwort: \(\frac{\pi}{3}\) entspricht einer Winkelgröße von \(60^\circ\).

Beispiel 2

Gegeben: \(\alpha = 45^\circ\)

Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß

Lösungsweg

\begin{align*}
x
&= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha &&{\color{gray}|\text{ Für } \alpha \text{ gleich } 45^\circ \text{ einsetzen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 45^\circ &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ}} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{4}
\end{align*}

Antwort: \(\frac{\pi}{4}\) entspricht einer Winkelgröße von \(45^\circ\).

Ist \(\alpha\) als Dezimalzahl gegeben, können wir versuchen, den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, indem wir die Dezimalzahl in einem Bruch umwandeln und kürzen.

Beispiel 3

Gegeben: \(\alpha = 10{,}5^\circ\)

Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß

Lösungsweg

\begin{align*}
x
&= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha &&{\color{gray}|\text{ Für } \alpha \text{ gleich } 10{,}5^\circ \text{ einsetzen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 10{,}5^\circ &&{\color{gray}|\text{ Dezimalzahl in Bruch umwandeln}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \frac{21}{2}^\circ &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ} \cdot \frac{3 \cdot 7 \cdot 1^\circ}{2} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cancel{1^\circ}} \cdot \frac{\cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{1^\circ}}{2} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
&= \frac{7\pi}{120}
\end{align*}

Antwort: \(\frac{7\pi}{120}\) entspricht einer Winkelgröße von \(10{,}5^\circ\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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