Gradmaß in Bogenmaß
In diesem Kapitel schauen wir uns die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß an.
Erforderliches Vorwissen
Problemstellung
Gegeben: Winkelgröße im Gradmaß
Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß
Vereinbarung
Um die Winkelgröße im Gradmaß von der im Bogenmaß unterscheiden zu können, bezeichnen wir im Folgenden die Winkelgröße im Gradmaß mit $\alpha$ und die Winkelgröße im Bogenmaß mit $x$.
Herleitung der Umrechnungsformel
Im Gradmaß ist der Vollwinkel $360^\circ$ groß.
Diese Erkenntisse führen uns zu folgender Beziehung:
.$\alpha$ verhält sich zu $360^\circ$ wie $x$ zu $2\pi$
Wenn wir das in die Sprache der Mathematik übersetzen, erhalten wir eine Verhältnisgleichung.
1) Verhältnisgleichung aufstellen
$$ \frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{x}{2\pi} $$
2) Verhältnisgleichung nach $x$ auflösen
Da die Winkelgröße im Bogenmaß, also $x$, gesucht ist, müssen wir die Verhältnisgleichung nach $x$ auflösen. Dazu führen wir einige einfache Äquivalenzumformungen durch.
$$ \begin{align*} \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{x}{2\pi} &&{\color{gray}| \cdot 2\pi} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} {\color{gray}\:\cdot\:2\pi} &= \frac{x}{2\pi} {\color{gray}\:\cdot\:2\pi} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen vorbereiten: } 360^\circ = 2 \cdot 180^\circ} \\[5px] \frac{\alpha}{{\color{gray}2 \cdot 180^\circ}} \cdot 2\pi &= \frac{x}{2\pi} \cdot 2\pi &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] \frac{\alpha}{{\color{gray}\cancel{2}} \cdot 180^\circ} {\color{gray}\:\cdot\:\cancel{2}} \pi &= \frac{x}{{\color{gray}\cancel{2\pi}}} {\color{gray}\:\cdot\:\cancel{2\pi}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi &= x &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] x &= \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi &&{\color{gray}|\: \alpha \text{ und } \pi \text{ vertauschen}} \\[5px] x &= \frac{{\color{gray}\pi}}{180^\circ} \cdot {\color{gray}\alpha} \end{align*} $$
Umrechnungsformel
$$ x = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha $$
Ist $\alpha$ als natürliche Zahl gegeben, können wir versuchen, den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, indem wir eine Primfaktorzerlegung durchführen und kürzen.
Beispiele
Gegeben: $\alpha = 60^\circ$
Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß
$$ \begin{align*} x &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha &&{\color{gray}|\text{ Für } \alpha \text{ gleich } 60^\circ \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 60^\circ &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ}} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{3} \end{align*} $$
$\frac{\pi}{3}$ entspricht einer Winkelgröße von $60^\circ$.
Gegeben: $\alpha = 45^\circ$
Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß
$$ \begin{align*} x &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha &&{\color{gray}|\text{ Für } \alpha \text{ gleich } 45^\circ \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 45^\circ &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ}} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{4} \end{align*} $$
$\frac{\pi}{4}$ entspricht einer Winkelgröße von $45^\circ$.
Ist $\alpha$ als Dezimalzahl gegeben, können wir versuchen, den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, indem wir die Dezimalzahl in einem Bruch umwandeln und kürzen.
Gegeben: $\alpha = 10{,}5^\circ$
Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß
$$ \begin{align*} x &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha &&{\color{gray}|\text{ Für } \alpha \text{ gleich } 10{,}5^\circ \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 10{,}5^\circ &&{\color{gray}|\text{ Dezimalzahl in Bruch umwandeln}} \\[5px] &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \frac{21}{2}^\circ &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ} \cdot \frac{3 \cdot 7 \cdot 1^\circ}{2} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cancel{1^\circ}} \cdot \frac{\cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{1^\circ}}{2} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= \frac{7\pi}{120} \end{align*} $$
$\frac{7\pi}{120}$ entspricht einer Winkelgröße von $10{,}5^\circ$.
