Winkeleinheiten umrechnen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie die Umrechnung von Winkeleinheiten funktioniert.
Gradmaß in Bogenmaß
Um die Winkelgröße im Gradmaß von der im Bogenmaß unterscheiden zu können, bezeichnen wir im Folgenden die Winkelgröße im Gradmaß mit $\alpha$ und die Winkelgröße im Bogenmaß mit $x$.
Umrechnungsformel
$$ x = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha $$
Herleitung der Formel: Gradmaß in Bogenmaß
Beispiel
Gegeben: $\alpha = 30^\circ$
Gesucht: Winkelgröße im Bogenmaß
$$ \begin{align*} x &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha &&{\color{gray}|\text{ Für } \alpha \text{ gleich } 30^\circ \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{\pi}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ}} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{1^\circ} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= \frac{\pi}{6} \end{align*} $$
$\frac{\pi}{6}$ entspricht einer Winkelgröße von $30^\circ$.
Bogenmaß in Gradmaß
Um die Winkelgröße im Bogenmaß von der im Gradmaß unterscheiden zu können, bezeichnen wir im Folgenden die Winkelgröße im Bogenmaß mit $x$ und die Winkelgröße im Gradmaß mit $\alpha$.
Umrechnungsformel
$$ \alpha = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x $$
Herleitung der Formel: Bogenmaß in Gradmaß
Beispiel
Gegeben: $x = \frac{\pi}{6}$
Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß
$$ \begin{align*} \alpha &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x &&{\color{gray}|\text{ Für } x \text{ gleich } \frac{\pi}{6} \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{6} &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2 \cdot 3} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\cancel{\pi}} \cdot \frac{\cancel{\pi}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= 30^\circ \end{align*} $$
$30^\circ$ entspricht einer Winkelgröße von $\frac{\pi}{6}$.
