Bogenmaß in Gradmaß
In diesem Kapitel schauen wir uns die Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß an.
Erforderliches Vorwissen
Problemstellung
Gegeben: Winkelgröße im Bogenmaß
Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß
Vereinbarung
Um die Winkelgröße im Bogenmaß von der im Gradmaß unterscheiden zu können, bezeichnen wir im Folgenden die Winkelgröße im Bogenmaß mit $x$ und die Winkelgröße im Gradmaß mit $\alpha$.
Herleitung der Umrechnungsformel
Im Gradmaß ist der Vollwinkel $360^\circ$ groß.
Diese Erkenntisse führen uns zu folgender Beziehung:
.$x$ verhält sich zu $2\pi$ wie $\alpha$ zu $360^\circ$
Wenn wir das in die Sprache der Mathematik übersetzen, erhalten wir eine Verhältnisgleichung.
1) Verhältnisgleichung aufstellen
$$ \frac{x}{2\pi} = \frac{\alpha}{360^\circ} $$
2) Verhältnisgleichung nach $x$ auflösen
Da die Winkelgröße im Gradmaß, also $\alpha$, gesucht ist, müssen wir die Verhältnisgleichung nach $\alpha$ auflösen. Dazu führen wir einige einfache Äquivalenzumformungen durch.
$$ \begin{align*} \frac{x}{2\pi} &= \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}| \cdot 360^\circ} \\[5px] \frac{x}{2\pi} {\color{gray}\:\cdot\:360^\circ} &= \frac{\alpha}{360^\circ} {\color{gray}\:\cdot\:360^\circ} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen vorbereiten: } 360^\circ = 2 \cdot 180^\circ} \\[5px] \frac{x}{2\pi} \cdot {\color{gray}2 \cdot 180^\circ} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] \frac{x}{{\color{gray}\cancel{2}}\pi} \cdot {\color{gray}\cancel{2}} \cdot 180^\circ &= \frac{\alpha}{{\color{gray}\cancel{360^\circ}}} \cdot {\color{gray}\cancel{360^\circ}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ &= \alpha &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \alpha &= \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ &&{\color{gray}|\: 180^\circ \text{ und } x \text{ vertauschen}} \\[5px] \alpha &= \frac{180^\circ}{{\color{gray}\pi}} \cdot {\color{gray}x} \end{align*} $$
Umrechnungsformel
$$ \alpha = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x $$
Um den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, müssen wir in den meisten Fällen eine Primfaktorzerlegung durchführen, damit wir anschließend kürzen können.
Beispiele
Gegeben: $x = \frac{\pi}{5}$
Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß
$$ \begin{align*} \alpha &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x &&{\color{gray}|\text{ Für } x \text{ gleich } \frac{\pi}{5} \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{5} &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{5} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot 1^\circ}{\cancel{\pi}} \cdot \frac{\cancel{\pi}}{\cancel{5}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= 36^\circ \end{align*} $$
$36^\circ$ entspricht einer Winkelgröße von $\frac{\pi}{5}$.
Gegeben: $x = \frac{\pi}{9}$
Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß
$$ \begin{align*} \alpha &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x &&{\color{gray}|\text{ Für } x \text{ gleich } \frac{\pi}{9} \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{9} &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3 \cdot 3} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\cancel{\pi}} \cdot \frac{\cancel{\pi}}{\cancel{3} \cdot \cancel{3}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= 20^\circ \end{align*} $$
$20^\circ$ entspricht einer Winkelgröße von $\frac{\pi}{9}$.
Ist $x$ als Dezimalzahl gegeben, können wir versuchen, den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, indem wir die Dezimalzahl in einem Bruch umwandeln und kürzen.
Gegeben: $x = 1{,}5$
Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß
$$ \begin{align*} \alpha &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x &&{\color{gray}|\text{ Für } x \text{ gleich } 1{,}5 \text{ einsetzen}} \\[5px] &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 1{,}5 &&{\color{gray}|\text{ Dezimalzahl in Bruch umwandeln}} \\[5px] &= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3}{2} &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{3}{2} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot \cancel{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{3}{\cancel{2}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}} \\[5px] &= \frac{270^\circ}{\pi} \end{align*} $$
$\frac{270^\circ}{\pi}$ entspricht einer Winkelgröße von $1{,}5$.
