Bogenmaß in Gradmaß

In diesem Kapitel schauen wir uns die Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß an.

Problemstellung

Gegeben: Winkelgröße im Bogenmaß

Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß

Vereinbarung

Um die Winkelgröße im Bogenmaß von der im Gradmaß unterscheiden zu können, bezeichnen wir im Folgenden die Winkelgröße im Bogenmaß mit \(x\) und die Winkelgröße im Gradmaß mit \(\alpha\).

Herleitung der Umrechnungsformel

Im Bogenmaß ist der Vollwinkel \(2\pi\) groß.

Im Gradmaß ist der Vollwinkel \(360^\circ\) groß.

Diese Erkenntisse führen uns zu folgender Beziehung: „\(x\) verhält sich zu \(2\pi\) wie \(\alpha\) zu \(360^\circ\)“.
Wenn wir das in die Sprache der Mathematik übersetzen, erhalten wir eine Verhältnisgleichung.

1.) Verhältnisgleichung aufstellen

\[\frac{x}{2\pi} = \frac{\alpha}{360^\circ}\]

Da die Winkelgröße im Gradmaß, also \(\alpha\), gesucht ist, müssen wir die Verhältnisgleichung nach \(\alpha\) auflösen. Dazu führen wir einige einfache Äquivalenzumformungen durch.

2.) Verhältnisgleichung nach \(x\) auflösen

\begin{align*}
\frac{x}{2\pi} &= \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}| \cdot 360^\circ}\\[5pt]
\frac{x}{2\pi} {\color{gray}\:\cdot\:360^\circ} &= \frac{\alpha}{360^\circ} {\color{gray}\:\cdot\:360^\circ} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen vorbereiten: } 360^\circ = 2 \cdot 180^\circ}\\[5pt]
\frac{x}{2\pi} \cdot {\color{gray}2 \cdot 180^\circ} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
\frac{x}{{\color{gray}\cancel{2}}\pi} \cdot {\color{gray}\cancel{2}} \cdot 180^\circ &= \frac{\alpha}{{\color{gray}\cancel{360^\circ}}} \cdot {\color{gray}\cancel{360^\circ}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ &= \alpha &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
\alpha &= \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ &&{\color{gray}|\: 180^\circ \text{ und } x \text{ vertauschen}}\\[5pt]
\alpha &= \frac{180^\circ}{{\color{gray}\pi}} \cdot {\color{gray}x}
\end{align*}

Umrechnungsformel: Bogenmaß \(\rightarrow\) Gradmaß

\[\alpha = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x\]

Um den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, müssen wir in den meisten Fällen eine Primfaktorzerlegung durchführen, damit wir anschließend kürzen können.

Beispiel 1

Gegeben: \(x = \frac{\pi}{5}\)

Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß

Lösungsweg

\begin{align*}
\alpha
&= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x &&{\color{gray}|\text{ Für } x \text{ gleich } \frac{\pi}{5} \text{ einsetzen}}\\[5pt]
&= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{5} &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}}\\[5pt]
&= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{5} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot 1^\circ}{\cancel{\pi}} \cdot \frac{\cancel{\pi}}{\cancel{5}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
&= 36^\circ
\end{align*}

Antwort: \(36^\circ\) entspricht einer Winkelgröße von \(\frac{\pi}{5}\).

Beispiel 2

Gegeben: \(x = \frac{\pi}{9}\)

Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß

Lösungsweg

\begin{align*}
\alpha
&= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x &&{\color{gray}|\text{ Für } x \text{ gleich } \frac{\pi}{9} \text{ einsetzen}}\\[5pt]
&= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{9} &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}}\\[5pt]
&= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3 \cdot 3} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\cancel{\pi}} \cdot \frac{\cancel{\pi}}{\cancel{3} \cdot \cancel{3}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
&= 20^\circ
\end{align*}

Antwort: \(20^\circ\) entspricht einer Winkelgröße von \(\frac{\pi}{9}\).

Ist \(x\) als Dezimalzahl gegeben, können wir versuchen, den Term auf der rechten Seite der Gleichung zu vereinfachen, indem wir die Dezimalzahl in einem Bruch umwandeln und kürzen.

Beispiel 3

Gegeben: \(x = 1{,}5\)

Gesucht: Winkelgröße im Gradmaß

Lösungsweg

\begin{align*}
\alpha
&= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x &&{\color{gray}|\text{ Für } x \text{ gleich } 1{,}5 \text{ einsetzen}}\\[5pt]
&= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 1{,}5 &&{\color{gray}|\text{ Dezimalzahl in Bruch umwandeln}}\\[5pt]
&= \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3}{2} &&{\color{gray}|\text{ Primfaktorzerlegung}}\\[5pt]
&= \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{3}{2} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{2 \cdot \cancel{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1^\circ}{\pi} \cdot \frac{3}{\cancel{2}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt]
&= \frac{90^\circ}{\pi}
\end{align*}

Antwort: \(\frac{90^\circ}{\pi}\) entspricht einer Winkelgröße von \(1{,}5\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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