Dezimalzahl in Bruch

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Thema „Dezimalzahl in Bruch umwandeln“.

Das Vorgehen unterscheidet sich danach, um welche Art von Dezimalzahl es sich handelt:

a) Endliche Dezimalzahl (z.B. \(2,089\))
b) Periodische Dezimalzahl
    > reinperiodische Dezimalzahl (z.B. \(0,\overline{17}\))
    > gemischtperiodische Dezimalzahl (z.B. \(0,1\overline{7}\))

a) Endliche Dezimalzahlen umwandeln

Endliche Dezimalzahlen lassen sich sehr einfach in Brüche umwandeln.

Die Anzahl der Nachkommastellen der Dezimalzahl,
entspricht der Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs.

Beispiele

\[278,\underbrace{9}_{\text{1 Stelle}} = \frac{2789}{1\underbrace{0}_{\text{1 Null}}}\]

\[27,\underbrace{89}_{\text{2 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{00}_{\text{2 Nullen}}}\]

\[2,\underbrace{789}_{\text{3 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}}\]

\[0,\underbrace{2789}_{\text{4 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{0000}_{\text{4 Nullen}}}\]

\[0,\underbrace{02789}_{\text{5 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{00000}_{\text{5 Nullen}}}\]

\[0,\underbrace{002789}_{\text{6 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{000000}_{\text{6 Nullen}}}\]

Wenn das Thema neu für dich ist, lohnt es sich systematisch vorzugehen:

Vorgehensweise

  1. Leeren Bruch mit einer 1 im Nenner aufschreiben
  2. So viele Nullen hinter die 1 schreiben wie es Nachkommastellen gibt
  3. Als Zähler die Dezimalzahl ohne Komma einsetzen

Beispiel 1

Wandle die Dezimalzahl \(2,089\) in einen Bruch um.

1.) Leeren Bruch mit einer 1 im Nenner aufschreiben

\[2,089 \quad = \quad \frac{}{1\phantom{000}}\]

2.) So viele Nullen hinter die 1 schreiben, wie es Nachkommastellen gibt

\[2,\underbrace{089}_{\text{3 Stellen}} \quad = \quad \frac{}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}}\]

3.) Als Zähler die Dezimalzahl ohne Komma einsetzen

\[2,089 \quad = \quad \frac{2089}{1000}\]

Beispiel 2

Wandle die Dezimalzahl \(0,02712\) in einen Bruch um.

1.) Leeren Bruch mit einer 1 im Nenner aufschreiben

\[0,02712 \quad = \quad \frac{}{1\phantom{00000}}\]

2.) So viele Nullen hinter die 1 schreiben, wie es Nachkommastellen gibt

\[0,\underbrace{02712}_{\text{5 Stellen}} \quad = \quad \frac{}{1\underbrace{00000}_{\text{5 Nullen}}}\]

3.) Als Zähler die Dezimalzahl ohne Komma einsetzen

\[0,02712 \quad = \quad \frac{2712}{100000}\]

Nach dem Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch kann der Bruch meist noch gekürzt werden (> Brüche kürzen). In den obigen Beispielen wurde allerdings darauf verzichtet.

b) Periodische Dezimalzahlen umwandeln

Vorgehensweise bei reinperiodischen Dezimalzahlen

  1. Ganze Zahl abspalten
  2. Periode in Bruch umwandeln
    2.1 Leeren Bruch aufschreiben
    2.2 Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
    2.3 Zähler: die Periode selbst
  3. Ganze Zahl in Bruch umwandeln

Beispiel 1

Wandle die Dezimalzahl \(0,\overline{17}\) in einen Bruch um.

1.) Ganze Zahl abspalten

Vor dem Komma steht eine Null, weshalb man sich diesen Schritt hier sparen kann.

2.1) Leeren Bruch aufschreiben

\[0,\overline{17} \quad =  \quad \frac{\phantom{17}}{\phantom{99}}\]

2.2) Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat

\[0,\underbrace{\overline{17}}_{\text{2 Stellen}} \quad = \quad \frac{\phantom{17}}{\underbrace{99}_{\text{2 Neuner}}}\]

2.3) Zähler: die Periode selbst

\[0,\overline{{\color{green}17}} \quad = \quad \frac{{\color{green}17}}{99}\]

3.) Ganze Zahl in Bruch umwandeln

Vor dem Komma steht eine Null, weshalb man sich diesen Schritt hier sparen kann.

Beispiel 2

Wandle die Dezimalzahl \(3,\overline{29}\) in einen Bruch um.

1.) Ganze Zahl abspalten

\(3,\overline{29} = 3 + 0,\overline{29}\)

2.1) Leeren Bruch aufschreiben

\[3 + 0,\overline{29} \quad = \quad 3 + \frac{\phantom{17}}{\phantom{99}}\]

2.2) Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat

\[3 + 0,\underbrace{\overline{29}}_{\text{2 Stellen}} \quad = \quad  3 + \frac{\phantom{17}}{\underbrace{99}_{\text{2 Neuner}}}\]

2.3) Zähler: die Periode selbst

\[3 + 0,\overline{{\color{green}29}} \quad = \quad 3 + \frac{{\color{green}29}}{99}\]

3.) Ganze Zahl in Bruch umwandeln

\[3 + \frac{29}{99} = 3 \cdot {\color{red}\frac{99}{99}} + \frac{29}{{\color{red}99}} = \frac{3 \cdot 99 + 29}{99} = \frac{326}{99}\]

Vorgehensweise bei gemischtperiodischen Dezimalzahlen

  1. Mit einer Zehnerpotenz multiplizieren
    \(\rightarrow\) gemischtperiodische in reinperiodische Dezimalzahl umwandeln
  2. Reinperiodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln
    2.1 Ganze Zahl abspalten
    2.2 Leeren Bruch aufschreiben
    2.3 Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
    2.4 Zähler: die Periode selbst
    2.5 Ganze Zahl in Bruch umwandeln
  3. Durch die Zehnerpotenz aus Schritt 1 dividieren

zu 1.)

Will man eine gemischtperiodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln,
multipliziert man die Zahl zuerst mit einer Potenz von 10 (also mit 10, 100, 1000...),
so dass eine reinperiodische Dezimalzahl entsteht.

Dabei gilt:
Die Anzahl der nicht-periodischen Nachkommastellen, entspricht der Anzahl der Nullen.

zu 2.1) - 2.5)

Die Schritte kennst du bereits aus dem Abschnitt zu den reinperiodischen Dezimalzahlen.

zu 3.)

Im 1. Schritt haben wir unsere Zahl mit einer Potenz von 10 multipliziert.
Dadurch wurde selbstverständlich der Wert der Zahl verändert.
Aus diesem Grund müssen wir im 3. Schritt den 1. Schritt rückgängig machen.

Beispiel 1

Wandle die Dezimalzahl \(0,1\overline{7}\) in einen Bruch um.

1.) Mit einer Zehnerpotenz multiplizieren

\(0,{\color{maroon}1}\overline{7} \cdot 1{\color{maroon}0} = 1,\overline{7}\)

2.1) Ganze Zahl abspalten

\(1,\overline{7} = 1 + 0,\overline{7}\)

2.2) Leeren Bruch aufschreiben

\[1 + 0,\overline{7} \quad = \quad 1 + \frac{\phantom{7}}{\phantom{9}}\]

2.3) Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat

\[1 + 0,\underbrace{\overline{7}}_{\text{1 Stelle}} \quad = \quad 1 + \frac{\phantom{7}}{\underbrace{9}_{\text{1 Neun}}}\]

2.4) Zähler: die Periode selbst

\[1 + 0,\overline{{\color{green}7}} \quad = \quad 1 + \frac{{\color{green}7}}{9}\]

2.5) Ganze Zahl in Bruch umwandeln

\[1 + \frac{7}{9} = 1 \cdot {\color{red}\frac{9}{9}} + \frac{7}{{\color{red}9}} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}\]

3.) Durch die Zehnerpotenz aus Schritt 1 dividieren

\[\frac{16}{9}:{\color{maroon}10} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{10} = \frac{16}{90}\]

\(\Rightarrow 0,1\overline{7} = \frac{16}{90}\)

Beispiel 2

Wandle die Dezimalzahl \(1,05\overline{91}\) in einen Bruch um.

1.) Mit einer Zehnerpotenz multiplizieren

\(1,{\color{maroon}05}\overline{91} \cdot 1{\color{maroon}00} = 105,\overline{91}\)

2.1) Ganze Zahl abspalten

\(105,\overline{91} = 105 + 0,\overline{91}\)

2.2) Leeren Bruch aufschreiben

\[105 + 0,\overline{91} \quad = \quad 105 + \frac{\phantom{91}}{\phantom{99}}\]

2.3) Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat

\[105 + 0,\underbrace{\overline{91}}_{\text{2 Stellen}} \quad = \quad 105 + \frac{\phantom{91}}{\underbrace{99}_{\text{2 Neuner}}}\]

2.4) Zähler: die Periode selbst

\[105 + 0,\overline{{\color{green}91}} \quad = \quad 105 + \frac{{\color{green}91}}{99}\]

2.5) Ganze Zahl in Bruch umwandeln

\[105 + \frac{91}{99} = 105 \cdot {\color{red}\frac{99}{99}} + \frac{91}{{\color{red}99}} = \frac{105 \cdot 99 + 91}{99} = \frac{10486}{99}\]

3.) Durch die Zehnerpotenz aus Schritt 1 dividieren

\[\frac{10486}{99}:{\color{maroon}100} = \frac{10486}{99} \cdot \frac{1}{100} = \frac{10486}{9900}\]

\(\Rightarrow 1,05\overline{91} = \frac{10486}{9900}\)

Nach dem Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch kann der Bruch meist noch gekürzt werden (> Brüche kürzen). In den obigen Beispielen wurde allerdings darauf verzichtet.

Umwandeln durch Auswendiglernen

Im Folgenden findest du zwei Tabellen mit Dezimalzahlen und zugehörigen Brüchen, die man auswendig wissen sollte. Auf diese Weise kann man Aufgaben schneller lösen!

Endliche Dezimalzahlen

Dezimalzahl \(0,75\) \(0,5\) \(0,25\) \(0,2\) \(0,125\) \(0,1\)
Bruch \(\frac{3}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{5}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{10}\)

Periodische Dezimalzahlen

Dezimalzahl \(0,\overline{6}\) \(0,\overline{4}\) \(0,\overline{3}\) \(0,\overline{2}\) \(0,1\overline{6}\) \(0,\overline{1}\)
Bruch \(\frac{2}{3}\) \(\frac{4}{9}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{9}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{9}\)

In den folgenden Beispielen versuchen wir die gegebenen Dezimalzahlen so zu zerlegen, dass wir bekannte - also auswendiggelernte - Dezimalzahlen erhalten, die wir anschließend ohne weiteres Rechnen in Brüche umwandeln können.

Beispiel 1

\[2,\overline{6} = 2 + {\color{red}0,\overline{6}} = 2 + {\color{red}\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\]

Beispiel 2

\[0,\overline{8} = 8 \cdot {\color{red}0,\overline{1}} = 8 \cdot {\color{red}\frac{1}{9}} = \frac{8}{9}\]

Beispiel 3

\[0,2\overline{7}= {\color{red}0,1\overline{6}} + {\color{red}0,\overline{1}} = {\color{red}\frac{1}{6}} + {\color{red}\frac{1}{9}} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}\]

An Stelle von \(0,\overline{1}\) könnte man auch \(0,1\overline{1}\) schreiben.
Dann sieht man nämlich besser, dass gilt: \(0,1\overline{6} + 0,1\overline{1} = 0,2\overline{7}\).

Am Anfang wirst du noch etwas herumprobieren müssen, um eine passende Zerlegung zu finden. Mit ein wenig Übung sollte dir aber auch dieses Thema keine Probleme bereiten!

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Brüche umwandeln von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Brüche umwandeln:

  Beispiele
Bruch in Dezimalzahl umwandeln \(\frac{7}{10} = 0,7\)
Dezimalzahl in Bruch umwandeln \(0,19 = \frac{19}{100}\)
Bruch in Prozent umwandeln \(\frac{11}{100} = 11~\%\)
Prozent in Bruch umwandeln \(23~\% = \frac{23}{100}\)
Bruch in gemischte Zahl umwandeln \(\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)
Gemischte Zahl in Bruch umwandeln \(2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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