Prozent in Bruch
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Thema Prozent in Bruch umwandeln
.
Dabei unterscheiden wir im Folgenden danach, ob die Prozentzahl eine ganze Zahl (z. B. 5 %) oder eine rationale Zahl (z. B. 1,5 %) ist.
Erforderliches Vorwissen
Prozentzahl ist eine ganze Zahl
Prozentzahl durch 100 % dividieren
Bruch kürzen
zu 1)
Durch die Division mit 100 % wird die Prozentzahl in einen Bruch umgewandelt. Dabei lässt sich das Prozentzeichen wegkürzen.
zu 2)
In den meisten Fällen lässt sich der Bruch noch durch Kürzen vereinfachen.
$$ 75\ \% $$
Prozentzahl durch 100 % dividieren
$$ \begin{align*} \phantom{75\ \%} &= \frac{75\ \%}{{\color{red}100\ \%}} \\[5px] &= \frac{75}{100} \end{align*} $$
Bruch kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{75\ \%} &= \frac{3 \cdot 5 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} \\[5px] &= \frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}} \\[5px] &= \frac{3}{4} \end{align*} $$
$$ 110\ \% $$
Prozentzahl durch 100 % dividieren
$$ \begin{align*} \phantom{110\ \%} &= \frac{110\ \%}{{\color{red}100\ \%}} \\[5px] &= \frac{110}{100} \end{align*} $$
Bruch kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{110\ \%} &= \frac{2 \cdot 5 \cdot 11}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} \\[5px] &= \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{5} \cdot 11}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{5} \cdot 5} \\[5px] &= \frac{11}{10} \end{align*} $$
Prozentzahl ist eine rationale Zahl
Prozentzahl durch 100 % dividieren
Bruch mit einer Zehnerpotenz erweitern
Bruch kürzen
zu 2)
Das Erweitern mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, …) dient dazu, das Komma im Zähler des Bruchs zu eliminieren.
Dabei hängen wir an die 1 so viele Nullen, wie es Nachkommastellen gibt:
- eine Nachkommastelle = Erweitern mit 10
- zwei Nachkommastellen = Erweitern mit 100
- usw.
$$ 4{,}4\ \% $$
Prozentzahl durch 100 % dividieren
$$ \begin{align*} \phantom{4{,}4\ \%} &= \frac{4{,}4\ \%}{{\color{red}100\ \%}} \\[5px] &= \frac{4{,}4}{100} \end{align*} $$
Bruch mit einer Zehnerpotenz erweitern
$$ \begin{align*} \phantom{4{,}4\ \%} &= \frac{4,{\color{red}4}}{100} \cdot \frac{1{\color{red}0}}{1{\color{red}0}} \\[5px] &= \frac{44}{1000} \end{align*} $$
Bruch kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{4{,}4\ \%} &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 11}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} \\[5px] &= \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 11}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} \\[5px] &= \frac{11}{250} \end{align*} $$
$$ 0{,}08\ \% $$
Prozentzahl durch 100 % dividieren
$$ \begin{align*} \phantom{0{,}08\ \%} &= \frac{0{,}08\ \%}{{\color{red}100\ \%}} \\[5px] &= \frac{0{,}08}{100} \end{align*} $$
Bruch mit einer Zehnerpotenz erweitern
$$ \begin{align*} \phantom{0{,}08\ \%} &= \frac{0,{\color{red}08}}{100} \cdot \frac{1{\color{red}00}}{1{\color{red}00}} \\[5px] &= \frac{8}{10000} \end{align*} $$
Bruch kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{0{,}08\ \%} &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} \\[5px] &= \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} \\[5px] &= \frac{1}{1250} \end{align*} $$
