Komplexe Zahlen multiplizieren

Im Hauptkapitel zu diesem Thema haben wir definiert, was man unter komplexen Zahlen versteht. In diesem Kapitel geht es um die Multiplikation von komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen multiplizieren - Definition

Gegeben sind zwei komplexe Zahlen

\(z_1 = x_1 + y_1 \cdot i\)

\(z_2 = x_2 + y_2 \cdot i\)

Das Produkt der beiden Zahlen ist definiert durch

\(\begin{align*}
z_1 \cdot z_2 &= (x_1 + y_1 \cdot i) \cdot (x_2 + y_2 \cdot i) \\
&= x_1x_2 + x_1y_2 \cdot i + x_2y_1 \cdot i + y_1y_2 \cdot i^2 \qquad \text{Hinweis: \(i^2 = -1\)}\\
&= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\cdot i
\end{align*}\)

Rechengesetze

  • Kommutativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1\)
  • Assoziativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3\)
  • Distributivgesetz
    \(z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3\)

Komplexe Zahlen multiplizieren - Beispiele

\(\begin{align*}
(3 + 4i) \cdot (5 + 2i) &= 15 + 6i + 20i + 8i^2\\
&=15 + 26i + 8\cdot(-1)\\
&= 7 + 26i
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
(-7 + 5i) \cdot (3 - 3i) &= -21 + 21i + 15i - 15i^2\\
&= -21 + 36i - 15\cdot(-1)\\
&= -6 + 36i
\end{align*}\)

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen muss man \(i^2 = -1\) stets im Hinterkopf behalten.

Wir können festhalten, dass komplexe Zahlen multiplizieren gar nicht so schwer ist, wenn man erstmal ein paar Aufgaben bewältigt hat. Im nächsten Kapitel geht es um die Division von komplexen Zahlen. Weiterhin viel Spaß beim Üben!

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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