Mittlere absolute Abweichung

In diesem Kapitel schauen wir uns die mittlere absolute Abweichung an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist die mittlere absolute Abweichung.

Die mittlere absolute Abweichung ist ein Streuungsparameter.

Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.

Mittlere absolute Abweichung berechnen

Um das Vorgehen zu verstehen, solltest du dich bereits mit dem Summenzeichen auskennen.

Formel für die mittlere absolute Abweichung

\[D = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|\]

Dabei gilt:

  • \(D\) = mittlere absolute Abweichung (engl. average absolute deviation)
  • \(n\) = Anzahl an Beobachtungswerten
  • \(x_{i}\) = \(i\)-ter Beobachtungswert
  • \(\bar{x}\) = Mittelwert der Verteilung

Um welchen Mittelwert es sich bei \(\bar{x}\) handelt, ist nicht festgelegt. In Frage kommt sowohl das arithmetische Mittel als auch der Median sowie der Modus der Verteilung.

Unabhängig davon, welchen Mittelwert man verwendet, geht man folgendermaßen vor:

Vorgehensweise

  1. Mittelwert berechnen
  2. Abstände der Beobachtungswerte vom Mittelwert berechnen
  3. Formel anwenden

Beispiel

Gegeben ist folgende Verteilung

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\
\hline \end{array}\)

\({\colorbox{yellow}{Arithmetisches Mittel}}\)

Für das arithmetische Mittel gilt: \(\bar{x} = {\color{blue}{5}}\)

Zunächst berechnen wir die Abstände der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittel.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline
|x_i - \bar{x}| & |2 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{3}} &|2 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{3}} & |3 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{2}} & |4 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{1}} & |14 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{9}} \\
\hline \end{array}\)

Jetzt können wir die mittlere absolute Abweichung berechnen.

\(D_1 = \frac{1}{5} \cdot ({\color{red}{3}} +{\color{red}{3}} +{\color{red}{2}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{9}}) = \frac{1}{5} \cdot 18 = {\colorbox{orange}{\(3,6\)}}\)

\({\colorbox{yellow}{Median}}\)

Für den Median gilt: \(\tilde{x} = {\color{blue}{3}}\)

Zunächst berechnen wir die Abstände der Beobachtungswerte vom Median.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline
|x_i - \tilde{x}| & |2 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{1}} &|2 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{1}} & |3 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{0}} & |4 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{1}} & |14 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{11}} \\
\hline \end{array}\)

Jetzt können wir die mittlere absolute Abweichung berechnen.

\(D_2 = \frac{1}{5} \cdot ({\color{red}{1}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{0}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{11}}) = \frac{1}{5} \cdot 14 = {\colorbox{orange}{\(2,8\)}}\)

\({\colorbox{yellow}{Modus}}\)

Für den Modus gilt: \(\bar{x}_d = {\color{blue}{2}}\)

Zunächst berechnen wir die Abstände der Beobachtungswerte vom Modus.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline
x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline
|x_i - \bar{x}_d| & |2 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{0}} &|2 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{0}} & |3 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{1}} & |4 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{2}} & |14 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{12}}\\
\hline \end{array}\)

Jetzt können wir die mittlere absolute Abweichung berechnen.

\(D_3 = \frac{1}{5} \cdot ({\color{red}{0}} +{\color{red}{0}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{2}} +{\color{red}{12}}) = \frac{1}{5} \cdot 15 = {\colorbox{orange}{\(3\)}}\)

Fazit

Es lässt sich feststellen, dass die mittlere absolute Abweichung in Abhängigkeit des gewählten Mittelwerts unterschiedliche Werte annimmt.

Streuungsparameter im Überblick

Im Folgenden findest einen Überblick über einige populäre Streuungsparameter.

Spannweite
(engl. range)

\(R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\)

Interquartilsabstand
(engl. interquartile range)

\(IQR = Q_{0,75} - Q_{0,25}\)

Mittlere absolute Abweichung
(engl. average absolute deviation)
\[D = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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