Interquartils­abstand

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist der Interquartilsabstand.

Einordnung 

Der Interquartilsabstand ist ein Streuungsparameter.

Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.

Interquartilsabstand berechnen 

Formel für den Interquartilsabstand

$$ IQR = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25} $$

Dabei gilt:

  • $IQR$ = Interquartilsabstand (engl. interquartile range)
  • $Q_{0{,}75}$ = 0,75-Quartil, 3. Quartil (Q3) oder oberes Quartil
  • $Q_{0{,}25}$ = 0,25-Quartil, 1. Quartil (Q1) oder unteres Quartil

Um den Interquartilsabstand zu berechnen, geht man also folgendermaßen vor:

Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

Quartile berechnen

0,75-Quartil - 0,25-Quartil

zu 2)

Quartile sind spezielle Lageparameter, die eine Verteilung in (annäherend) vier gleich große Teile teilen. Für den Interquartilsabstand brauchen wir das 0,75-Quartil und das 0,25-Quartil.

Das 0,75-Quartil entspricht dem Wert,
welcher größer oder gleich 75 % aller Werte ist.

$$ \begin{equation*} Q_{0{,}75} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}75)} + x_{(n \cdot 0{,}75 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0{,}75 \text{ ganzzahlig} \\ x_{(\lceil n \cdot 0{,}75\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0{,}75 \text{ nicht ganzzahlig} \end{cases} \end{equation*} $$

Das 0,25-Quartil entspricht dem Wert,
welcher größer oder gleich 25 % aller Werte ist.

$$ \begin{equation*} Q_{0{,}25} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}25)} + x_{(n \cdot 0{,}25 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0{,}25 \text{ ganzzahlig} \\\\ x_{(\lceil n \cdot 0{,}25\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0{,}25 \text{ nicht ganzzahlig} \end{cases} \end{equation*} $$

Dabei steht $n$ für die Anzahl der Beobachtungswerte und die Klammern bei $\lceil n \cdot 0{,}75\rceil$ bzw. $\lceil n \cdot 0{,}75\rceil$ stehen für die Aufrundungsfunktion. Der Wert in Klammern wird also ggf. auf die nächste ganze Zahl, die größer oder gleich $n \cdot 0{,}75$ bzw. $n \cdot 0{,}25$ ist, aufgerundet:

Beispiel 1 

$$ \lceil 2{,}8 \rceil = 3 $$

Beispiel 2 

$$ \lceil 2{,}3 \rceil = 3 $$

Beispiel 3 

$$ \lceil 2 \rceil = 2 $$

Warnung: Die Klammern für die Aufrundungsfunktion $\lceil x \rceil$ darf man nicht mit normalen eckigen Klammern $[x]$ verwechseln!

Beispiel 4 

Wir fragen 12 Kinder nach ihrem Alter.

Die Antworten der Kinder lauten:
5, 3, 7, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 8, 7, 5

Berechne den Interquartilsabstand.

Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline x_i & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} \\ \hline \text{Alter} & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 \\ \hline \end{array} $$

0,75-Quartil berechnen

$$ \begin{equation*} Q_{0{,}75} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}75)} + x_{(n \cdot 0{,}75 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0{,}75 \text{ ganzzahlig} \\ x_{(\lceil n \cdot 0{,}75\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0{,}75 \text{ nicht ganzzahlig} \end{cases} \end{equation*} $$

Wegen $n = 12$ gilt:

$$ 12 \cdot 0{,}75 = 9 $$

Da $n \cdot 0{,}75$ ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,75-Quartils:

$$ Q_{0{,}75} = \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}75)} + x_{(n \cdot 0{,}75 + 1)}\right) $$

Mit $n = 12$ erhält man demnach:

$$ \begin{align*} Q_{0{,}75} &= \frac{1}{2}\left(x_{(12 \cdot 0{,}75)} + x_{(12 \cdot 0{,}75 + 1)}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(x_{9} + x_{10}\right) \end{align*} $$

Aus der Tabelle lässt sich ablesen $x_9 = 6$ und $x_{10} = 7$. Daraus folgt:

$$ Q_{0{,}75} = \frac{1}{2}\left(6 + 7\right) = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6{,}5 $$

0,25-Quartil berechnen

$$ \begin{equation*} Q_{0{,}25} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}25)} + x_{(n \cdot 0{,}25 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0{,}25 \text{ ganzzahlig} \\ x_{(\lceil n \cdot 0{,}25\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0{,}25 \text{ nicht ganzzahlig} \end{cases} \end{equation*} $$

Wegen $n = 12$ gilt:

$$ 12 \cdot 0{,}25 = 3 $$

Da $n \cdot 0{,}25$ ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,25-Quartils:
$$ Q_{0{,}25} = \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}25)} + x_{(n \cdot 0{,}25 + 1)}\right) $$

Mit $n = 12$ erhält man demnach:

$$ \begin{align*} Q_{0{,}25} &= \frac{1}{2}\left(x_{(12 \cdot 0{,}25)} + x_{(12 \cdot 0{,}25 + 1)}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(x_{3} + x_{4}\right) \end{align*} $$

Aus der Tabelle lässt sich ablesen $x_3 = 4$ und $x_{4} = 4$. Daraus folgt:

$$ Q_{0{,}25} = \frac{1}{2}\left(4 + 4\right) = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 $$

Interquartilsabstand berechnen

$$ IQR = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25} = 6{,}5 - 4 = 2{,}5 $$

Beispiel 5 

Wir fragen 11 Kinder nach ihrem Alter.

Die Antworten der Kinder lauten:
5, 3, 7, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 7, 5

Berechne den Interquartilsabstand.

Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline x_i & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} \\ \hline \text{Alter} & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 7 \\ \hline \end{array} $$

0,75-Quartil berechnen

$$ \begin{equation*} Q_{0{,}75} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}75)} + x_{(n \cdot 0{,}75 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0{,}75 \text{ ganzzahlig} \\ x_{(\lceil n \cdot 0{,}75\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0{,}75 \text{ nicht ganzzahlig} \end{cases} \end{equation*} $$

Wegen $n = 11$ gilt:

$$ 11 \cdot 0{,}75 = 8{,}25 $$

Da $n \cdot 0{,}75$ nicht ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,75-Quartils:

$$ Q_{0{,}75} = x_{(\lceil n \cdot 0{,}75\rceil)} $$

Mit $n = 11$ erhält man demnach:

$$ Q_{0{,}75} = x_{(\lceil 11 \cdot 0{,}75\rceil)} = x_{(\lceil 8{,}25 \rceil)} = x_9 $$

Aus der Tabelle lässt sich ablesen $x_9 = 6$. Daraus folgt:

$$ Q_{0{,}75} = 6 $$

0,25-Quartil berechnen

$$ \begin{equation*} Q_{0{,}25} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(x_{(n \cdot 0{,}25)} + x_{(n \cdot 0{,}25 + 1)}\right) & \text{wenn } n \cdot 0{,}25 \text{ ganzzahlig} \\ x_{(\lceil n \cdot 0{,}25\rceil)} & \text{wenn } n \cdot 0{,}25 \text{ nicht ganzzahlig} \end{cases} \end{equation*} $$

Wegen $n = 11$ gilt:

$$ 11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75 $$

Da $n \cdot 0{,}25$ nicht ganzzahlig ist, lautet die Formel zur Berechnung des 0,25-Quartils:

$$ Q_{0{,}25} = x_{(\lceil n \cdot 0{,}25\rceil)} $$

Mit $n = 11$ erhält man demnach:

$$ Q_{0{,}25} = x_{(\lceil 11 \cdot 0{,}25\rceil)} = x_{(\lceil 2{,}75 \rceil)} = x_3 $$

Aus der Tabelle lässt sich ablesen $x_3 = 4$. Daraus folgt:

$$ Q_{0{,}25} = 4 $$

Interquartilsabstand berechnen

$$ IQR = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25} = 6 - 4 = 2 $$

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