Spannweite

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist die Spannweite.

Einordnung 

Die Spannweite ist ein Streuungsparameter.

Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.

Spannweite berechnen 

Formel für die Spannweite

$$ R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} $$

Dabei gilt:

  • $R$ = Spannweite (engl. range)
  • $x_{\text{max}}$ = größter Beobachtungswert
  • $x_{\text{min}}$ = kleinster Beobachtungswert

Beispiel 1 

In einer Schule fragen wir 10 Schüler nach ihrem Alter.

Die Antworten der Schüler sind in folgender Tabelle festgehalten:

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & 12 & 12 & 16 & 14 & 17 & 13 & 15 & 11 & 15 & 17 \\ \hline \end{array} $$

Berechne die Spannweite.

Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & 11 & 12 & 12 & 13 & 14 & 15 & 15 & 16 & 17 & 17 \\ \hline \end{array} $$

Größten Beobachtungswert bestimmen

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & 11 & 12 & 12 & 13 & 14 & 15 & 15 & 16 & 17 & {\color{red}17} \\ \hline \end{array} $$

$$ \Rightarrow x_{\text{max}} = 17 $$

Kleinsten Beobachtungswert bestimmen

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & {\color{red}11} & 12 & 12 & 13 & 14 & 15 & 15 & 16 & 17 & 17 \\ \hline \end{array} $$

$$ \Rightarrow x_{\text{min}} = 11 $$

Spannweite berechnen

$$ R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 17 - 11 = 6 $$

Beispiel 2 

In einer Schule fragen wir 50 Schüler nach ihrem Alter.

Das Alter der Schüler und die absoluten Häufigkeiten sind in folgender Tabelle festgehalten:

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit } H_i & 4 & 4 & 10 & 2 & 11 & 5 & 4 & 7 & 3 \\ \hline \end{array} $$

Berechne die Spannweite.

Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

Dieser Schritt entfällt hier, da die Tabelle bereits entsprechend sortiert ist.

Größten Beobachtungswert bestimmen

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & {\color{red}18} \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit } H_i & 4 & 4 & 10 & 2 & 11 & 5 & 4 & 7 & 3 \\ \hline \end{array} $$

$$ \Rightarrow x_{\text{max}} = 18 $$

Kleinsten Beobachtungswert bestimmen

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & {\color{red}10} & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ \hline \text{Absolute Häufigkeit } H_i & 4 & 4 & 10 & 2 & 11 & 5 & 4 & 7 & 3 \\ \hline \end{array} $$

$$ \Rightarrow x_{\text{min}} = 10 $$

Spannweite berechnen

$$ R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 18 - 10 = 8 $$

Beispiel 3 

In einer Schule fragen wir einige Schüler nach ihrem Alter.

Das Alter der Schüler und die relativen Häufigkeiten sind in folgender Tabelle festgehalten:

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline \text{Relative Häufigkeit } h_i & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline \end{array} $$

Berechne die Spannweite.

Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

Dieser Schritt entfällt hier, da die Tabelle bereits entsprechend sortiert ist.

Größten Beobachtungswert bestimmen

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & {\color{red}17} \\ \hline \text{Relative Häufigkeit } h_i & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline \end{array} $$

$$ \Rightarrow x_{\text{max}} = 17 $$

Kleinsten Beobachtungswert bestimmen

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Alter } x_i & {\color{red}12} & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline \text{Relative Häufigkeit } h_i & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline \end{array} $$

$$ \Rightarrow x_{\text{min}} = 12 $$

Spannweite berechnen

$$ R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 17 - 12 = 5 $$

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