Flächeninhalt eines Kreisrings
Wenn wir aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit gleichem Mittelpunkt herausschneiden, entsteht ein Kreisring. Wir können die Ringbreite, den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreisrings berechnen. In diesem Kapitel schauen wir uns die Berechnung des Flächeninhalts an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Flächeninhalt eines Kreisrings ist der Fachbegriff für die Größe des Kreisrings.
Flächeninhalt eines Kreisrings berechnen
Innenradius und Außenradius gegeben
Formel
Der Flächeninhalt eines Kreisrings $A_{\textrm{Kreisring}}$ entspricht dem Flächeninhalt des äußeren Kreises abzüglich des Flächeninhalts des inneren Kreises:
$$ \begin{align*} A_{\textrm{Kreisring}} & = A_a - A_i \\[5px] & = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \end{align*} $$
$$ A_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{r_a}$ und $\boldsymbol{r_i}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Flächeninhalt eines Kreisrings $A_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innenradius $r_i = 3\ \textrm{cm}$ und dem Außenradius $r_a = 5\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ A_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) $$
Werte für $\boldsymbol{r_a}$ und $\boldsymbol{r_i}$ einsetzen
$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} = \pi \cdot ((5\ \textrm{cm})^2 - (3\ \textrm{cm})^2) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} & = 50{,}26\ldots\ \textrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 50{,}3\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Berechne den Flächeninhalt eines Kreisrings $A_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innenradius $r_i = 6\ \textrm{m}$ und dem Außenradius $r_a = 9\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ A_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) $$
Werte für $\boldsymbol{r_a}$ und $\boldsymbol{r_i}$ einsetzen
$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} = \pi \cdot ((9\ \textrm{m})^2 - (6\ \textrm{m})^2) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} & = 141{,}371\ldots\ \textrm{m}^2 \\[5px] & \approx 141{,}37\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Innendurchmesser und Außendurchmesser gegeben
Formel
Der Flächeninhalt eines Kreisrings $A_{\textrm{Kreisring}}$ entspricht dem Flächeninhalt des äußeren Kreises abzüglich des Flächeninhalts des inneren Kreises:
$$ \begin{align*} A_{\textrm{Kreisring}} & = A_a - A_i \\[5px] & = \frac{\pi}{4} \cdot d_a^2 - \frac{\pi}{4} \cdot d_i^2 &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \end{align*} $$
$$ A_{\textrm{Kreisring}} = \frac{\pi}{4} \cdot (d_a^2 - d_i^2) $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{d_a}$ und $\boldsymbol{d_i}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Flächeninhalt eines Kreisrings $A_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innendurchmesser $d_i = 2\ \textrm{cm}$ und dem Außendurchmesser $d_a = 8\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ A_{\textrm{Kreisring}} = \frac{\pi}{4} \cdot (d_a^2 - d_i^2) $$
Werte für $\boldsymbol{d_a}$ und $\boldsymbol{d_i}$ einsetzen
$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} = \frac{\pi}{4} \cdot ((8\ \textrm{cm})^2 - (2\ \textrm{cm})^2) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} & = 47{,}12\ldots\ \textrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 47{,}1\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Berechne den Flächeninhalt eines Kreisrings $A_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innendurchmesser $d_i = 19\ \textrm{m}$ und dem Außendurchmesser $d_a = 28\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ A_{\textrm{Kreisring}} = \frac{\pi}{4} \cdot (d_a^2 - d_i^2) $$
Werte für $\boldsymbol{d_a}$ und $\boldsymbol{d_i}$ einsetzen
$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} = \frac{\pi}{4} \cdot ((28\ \textrm{m})^2 - (19\ \textrm{m})^2) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A_{\textrm{Kreisring}}} & = 332{,}223\ldots\ \textrm{m}^2 \\[5px] & \approx 332{,}22\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
